1、第十二章概率第四讲二项分布及其应用、正态分布1.2021安徽省名校联考已知水平直线上的某质点,每次等可能向左或向右移动1个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是()A.14B.516C.38D.122.2021陕西省部分学校摸底检测某地有A,B,C,D四人先后感染了传染性肺炎,其中只有A到过疫区,B确定是受A感染的.对于C因为难以判定是受A还是受B感染的,于是假定他受A和B感染的概率都是12.同样假定D受A,B和C感染的概率都是13.在这种假定下,B,C,D中恰有两人直接受A感染的概率是()A.16B.13C.12D.233.2021八省市新高考适应性考试对一个物理量做n次
2、测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差nN(0,2n),为使误差n在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量次(若XN(,2),则P(|X-|2)=0.954 5).4.2021江苏南通开学考试高二某班共有60名学生,其中女生有20名,三好学生占全班人数的16,而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名学生参加某一座谈会,则在已知没有选上女生的条件下,选上的是三好学生的概率为.5.2021洛阳统一考试田忌赛马的故事出自史记中的孙子吴起列传.齐国的大将田忌很喜欢赛马,有一回,他和齐威王约定,要进行一场比赛.双方各自有三匹马,马都可以分为上、中、下
3、三等.上等马都比中等马强,中等马都比下等马强,但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些,比赛共三局,每局双方各派一匹马出场,且每匹马只赛一局,累计胜两局或三局的一方获得比赛胜利,在比赛之前,双方都不知道对方马的出场顺序.(1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率;(2)若第一局齐威王派出场的是上等马,而田忌派出场的是下等马,求本场比赛田忌胜利的概率;(3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果).6.2020北京,18,14分某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:男生女生支持不支
4、持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1,试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)7.2021江西五校联考某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,
5、高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E共八个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到91,100,81,90,71,80,61,70,51,60,41,50,31,40,21,30八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分
6、布N(60,132).(1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间61,80的人数,求X的分布列和数学期望.附:若随机变量N(,2),则P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5,P(-316,nN*,5nX5(n+1).(1)试确定n的所有取值,并求k.(2)经组委会研究确定:在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛;分数在95,100)内的参赛者评为一等奖;分数在90,95)内的参赛者评为二等奖,但通过附加赛有111的概率提升为一等奖;分数在85
7、,90)内的参赛者评为三等奖,但通过附加赛有17的概率提升为二等奖,不能提升为一等奖(所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级).已知学生A和B均参加了本次比赛,且学生A在第一阶段被评为二等奖.求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率;已知学生A和B都获奖,记A,B两位学生中最终获得一等奖的人数为,求的分布列和期望.答 案第四讲二项分布及其应用、正态分布1.B由题意可知质点每次向左或向右移动1个单位长度的概率均为12,且第6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则向左和向右各移动3次,所以第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率P=C63(12)3(12)3=516,故选B.2.C由题
8、意得B,C,D中恰有两人直接受A感染包含的情况有以下3种:B,C两人直接受A感染,D受B感染;B,D两人直接受A感染,C受B感染;B,C两人直接受A感染,D受C感染.所以B,C,D中恰有两人直接受A感染的概率P=1213+1312+1213=12.故选C.3.32由题意可知,=2n,=0.因为P(|X-|2)=0.954 5,所以P(-2Xp1.7.(1)因为该校高一年级学生的物理原始成绩N(60,132),所以P(4786)=P(4760)+P(6086)=12P(60-1360+13)+12P(60-21360+213)0.68272+0.95452=0.818 6,所以该校高一年级学生的
9、物理原始成绩在区间(47,86)的人数为2 0000.8186=1 637.(2)由题意得,从全省考生中随机抽取1人,其该门选考科目的等级成绩在区间61,80的概率为16%+24%=40%,即25,若随机抽取3人,则X的所有可能取值为0,1,2,3,且XB(3,25),所以P(X=0)=(35)3=27125,P(X=1)=C3125(35)2=54125,P(X=2)=C32(25)235=36125,P(X=3)=(25)3=8125.所以X的分布列为X0123P2712554125361258125因为XB(3,25),所以数学期望E(X)=325=65.8.(1)X的所有可能取值为1,
10、2,5,-15,则P(X=1)=C31(12)1(1-12)2=38,P(X=2)=C32(12)2(1-12)1=38,P(X=5)=C33(12)3(1-12)0=18,P(X=-15)=C30(12)0(1-12)3=18.所以X的分布列为X125-15P38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),结合(1)知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-15)=18,所以玩三盘此游戏,至少有一盘出现音乐的概率为1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1512=511512.(3)由(1)知,随机变量X的数学期望E(X)=138+238+518-1
11、518=-180,即每盘游戏获得的分数X的均值为负数,所以多次玩此款游戏后,得分减少的可能性更大.9.由题中表格易知此驾校男学员每次通过科目二考试的概率为9601200=45,此驾校女学员每次通过科目二考试的概率为600800=34.设事件Ai为男学员在第i次考科目二时通过,其中i=1,2,3,4,5;事件Bj为女学员在第j次考科目二时通过,其中j=1,2,3,4,5.(1)设事件M为这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费,解法一则P(M)=P(A1B1+A1B1B2+A1A2B1+A1A2B1B2)=P(A1B1)+P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1A2B1B2)=4
12、534+451434+154534+15451434=910.解法二P(M)=1-P(A1A2)1-P(B1B2)=(1-1515)(1-1414)=24251516=910.(2)的所有可能取值为400,600,800,1 000,1 200.P(=400)=P(A3B3)=4534=35,P(=600)=P(A3B3B4+A3A4B3)=451434+154534=27100,P(=800)=P(A3A4B3B4+A3B3B4+A3A4B3)=15451434+451414+151534=11100,P(=1 000)=P(A3A4B3B4+A3A4B3B4)=15451414+15151
13、434=7400,P(=1 200)=P(A3A4B3B4)=15151414=1400.的分布列为4006008001 0001 200P35271001110074001400E()=40035+60027100+80011100+1 0007400+1 2001400=510.5.10.(1)根据题意,X在70,100)内,按组距为5可分成6个小区间,分别是70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100).因为70X100,5nX5(n+1),nN*,所以n可以取14,15,16,17,18,19.易知每个小区间的频率p=5Y,则p=8n-10960,
14、n=14,15,16,13-5k120-n,n=17,18,19.所以814-10960+815-10960+816-10960+13-5k120-17+13-5k120-18+13-5k120-19=1,即360+1160+1960+1-5k(13+12+1)=1,解得k=350.所以n的所有取值为14,15,16,17,18,19,k的值为350.(2)由(1)知,学生B的分数属于区间70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100)的概率分别是360=120,1160,1960,1460=730,1160,260=130.设Aij,Bij分别表示学生A,
15、B在第一轮获奖等级为i,最终获奖等级为j,其中ji(i,j=1,2,3).记“学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级”为事件W,则P(W)=P(B11B21B22A22B32A22)=P(B11)+P(B21)+P(B22)P(A22)+P(B32)P(A22)=130+1160111+116010111011+730171011=51220.学生A最终获得一等奖的概率P(A)=111,学生B最终获得一等奖的概率P(B)=130920+1160920111=227+127=19,的所有可能取值为0,1,2,所以P(=0)=(1-111)(1-19)=8099,P(=1)=111(1-19)+(1-111)19=211,P(=2)=11119=199.所以的分布列为012P8099211199E()=08099+1211+2199=2099.