1、14.1.4 反证法【教学目标】知识与技能1.通过实例,体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.过程与方法通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.情感、态度与价值观在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.【重点难点】重点运用反证法进行推理论证.难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.【教学过程】一、创设情景,导入新课出示多媒体,展示路旁苦李的故事的动画场景,引入反证法的课题.二、师生互动,探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是
2、苦的?你认为他的判断正确吗?学生讨论交流,选代表发言.如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.教师出示,若a2+b2c2(abc),则ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗?学生活动,代表展示.若C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2c2,这是不可能的,即ABC不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到
3、矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.教材P116例6.【教师活动】ABC至少有一个内角小于或等于60的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.【教师活动】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.三、随堂练习,巩固新知1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设.(2)“已知:ABC中,AB=AC.求证:B180.这与三角形内角和定理相矛盾.所以B180,这与三角形内角和定理相矛盾,所以ABC中不可能只有一个锐角.(2)假设ABC中没有锐角,则A90,B90,C90,所以A+B+
4、C180,这与三角形内角和定理相矛盾,所以ABC中不可能没有锐角.由(1)、(2)得出假设不成立,从而原命题成立.综上所述,ABC中至少有两个锐角.四、典例精析,拓展新知【例】求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【教师活动】(1)你首选的是哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?(3)能不用反证法证明吗?你准备怎样证明?要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知,深化理解【例3】求证:若a
5、b0,则.【解析】的反面是=或.【答案】证明:假设不大于b,则=或b矛盾,所以=,不成立.(2)当0,b0,0,0,即a.同理可证b.ab矛盾.1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.【答案】假设A、B、C中没有一个值大于零,则A0,B0,C0,即A+B+C0.由已知有A+B+C=a2-2b+b2-2c+c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3).(a-1)20,(b-1)20,(c-1)20,(-3)0.A+B+C0,这与假设A
6、0,B0,C0相矛盾,所以A、B、C中至少有一个值大于零.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.【教学反思】反证法是一种重要的证题方法,也是初中数学的难点,如何突破这一难点,并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍:1.思维方向的转换,不能总用直接法;2.证明步骤存在障碍;3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举;“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.