1、学科网（北京）股份有限公司南京师大附中 2023 届高二年级期末考试数学 2023.6（总分 150 分，考试时间 120 分钟）注意事项：1.本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第卷（选择题共 60 分）一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数 3ii+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象
2、限 2.设集合()()230,lg0Ax xxBxx=+=，则 AB=（）A.2,3 B.)3,+C.(),21,+D.()1,+3.设某中学的女生体重(y 单位：kg)与身高 x（单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,iix yin=，用最小二乘法建立的经验回归方程为 0.8486.71yx=.若该中学女生的平均身高为160cm，则该中学女生的平均体重的估计值是（）A.47.69kg B.48.69kg C.57.69kg D.58.69kg 4.设a 与b均为单位向量，它们的夹角为.若1ab+，则 的范围是（）A.0,3 B.20,3 C.,3 D.2,3 5.设
3、853,log 5,log 34abc=，则（）A.abc B.acb C.cba D.cab，则()f x 在区间 0,2内可能（）A.单调递增 B.单调递减 C.有最小值，无最大值 D.有最大值，无最小值 12.如图，圆锥VAB 内有一个内切球O，球O 与母线,VA VB 分别切于点,C D.若 VAB是边长为 2 的等边三角形，1O 为圆锥底面圆的中心，MN 为圆1O 的一条直径（MN 与 AB 不重合），则下列说法正确的是（）A.球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:3 B.平面CMN 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C.四面体CDMN 的体积的取值范围是30,3 D.若 P 为球面和圆锥
4、侧面的交线上一点，则 PMPN+最大值为2 2第 II 卷（非选择题共 90 分）三填空题（本大题共 4 小题，每小顾 5 分，共 20 分）13.若 tan24x+=，则 tanx 的值为_.14.62xx展开式中的常数项为_.（结果用数字表示）15.现有两个罐子，1 号罐子中装有 2 个红球1 个黑球，2 号罐子中装有 3 个红球1 个黑球.现先从 1 号罐子中随机取出一个球放入 2 号罐子，再从 2 号罐子中取一个球，则从 2 号罐子中取出的球是红球的概率为_.学科网（北京）股份有限公司16.若存在实数,a b 使得eeln3abab+，则 ab+的值为_.四解答题（本大题共 6 小题，
5、共 70 分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）已知各项不为零的数列 na满足：()*1111,20Nnnnnaaaaan+=+=.（1）求23,a a，并求 na的通项公式；（2）记数列1nna a+的前n 项和为nS，证明：12nS 经过点()4,6P，且离心率为 2.（1）求C 的方程；（2）过点 P 作 y 轴的垂线，交直线:1l x=于点 M，交 y 轴于点 N.设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k，若122kk+=，求MABNABSS.22.（本小题满分 12 分）已知函数()2e2xf xaxbx=
6、+.（1）若0a=，讨论()f x 的单调性；（2）若12a=，存在()1212,x xxx满足()()12f xf x=，且122xx+=，求b 的取值范围.2024 届高二年级 6 月份数学学科测试答案一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8.B 二多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9.BCD 10.ABC 11.BC
7、12.ABD 三填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）学科网（北京）股份有限公司13.13 14.60 15.1115 16.1e四解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.解：（1）因为11120,1nnnnaaaaa+=，所以0na，所以1112nnaa+=，所以数列1na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以()112121nnna=+=，所以121nan=；（2）()()1111121212 2121nnaannnn+=+，所以12231nnnSa aa aaa+=+111111123352121nn=+()111
8、1122122 21nn=+所以12nS，所以1cos2C=，又因为()0,C，所以3C=.又 sinsinbcBC=，所以sin2sin3sin3bCcB=；学科网（北京）股份有限公司（2）由余弦定理，得2221cos22abcCab+=，所以2223ababcab+=+=+，则223()33()34ababab+=+，所以2 3ab+，当且仅当“3ab=”时取得等号，所以 ABC周长abc+的最大值为3 3.19.解：（1）提出假设 0H：是否选择网红景点与性别没有关系.由题意，补全2 2列联表得 首选传统景区 首选网红景区 合计 男性 20 10 30 女性 8 12 20 合计 28
9、22 50 根据公式求得2250(20 12 10 8)8003.4632.70630 20 28 22231=.因为当0H 成立时，2 2.706 的概率约为 0.1，所以有90%的把握认为，是否首选网红景点与性别有关.（2）由题意知，随机变量 X 服从二项分布()3,0.4B.则 X 的分布列为：()33 0.4(1 0.4),0,1,2,3,kkkP XkCk=即()00.216P X=()10.432P X=()20.288P X=()30.064P X=X 的分布表为：学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以 X 的期望值
10、()3 0.41.2E Xnp=.（分布列和分布表写出一个即可得分，期望值也可以直接用定义计算）20.解：（1）四棱台1111ABCDA B C D中，11,AA CC 延长后交于一点，故11,A C C A 共面，因为1AA 平面,ABCD BD 平面 ABCD，故1AABD，连接11,AC AC，因为底面四边形 ABCD 为菱形，故 ACBD，11,AAACA AA AC=平面11ACC A，故 BD 平面11ACC A，因为1CC 平面11ACC A，所以1BDCC；（2）过点 A 作 BC 的垂线交 BC 与 N 点，以 AN 作为 x 轴，以1,AD AA 分别为 y 轴，z 轴，建
11、立如图所示的空间直角坐标系，不妨设111A B=，则111222ABAAA B=，由于60ABC=，故1,3BNAN=，由于点 M 是棱 BC 上靠近点C 的三等分点，故41,33BMNM=，则()()()110,0,0,0,1,1,0,2,0,3,03ADDM，则()()110,1,1,3,0,0,2,03ADAMAD=，学科网（北京）股份有限公司记平面1AMD 的法向量为(),na b c=，则100AD nAM n=，即01303bcab+=+=，令1b=，则1,13 3ac=，即1,1,13 3n=.平面1ADD 的法向量可取为()1,0,0m=，则21553 3cos,5511 13
12、 3n mn mnm=+由图知二面角1MADD为锐二面角，故二面角1MADD的余弦值为5555.21.解：（1）由题意得22222163612abcaabc=+=，解得22412ab=.所以C 的方程为221412xy=.（2）由题意，点 M 坐标为()1,6，点 N 坐标为()0,6，设()()1122,A x yB xy.方法一：若直线 AB 斜率存在，设直线 AB 方程为 ykxm=+，221412xyykxm=+，消去 y 可得()22232120kxkmxm=，230k且()22124120mk=+，且2121222212,33kmmxxx xkk+=.学科网（北京）股份有限公司()
13、()()()()()12211212121264646624444kxmxkxmxyykkxxxx+=+=整理可得()()()121242228160mkxxkx xm+=，()()2222124222816033kmmmkkmkk+=，化简得22128122360mmkkkm+=，即()()26460mkmk+=，因为直线 AB 不过点()4,6P，所以460mk+，所以260mk=，所以直线 AB 的方程为()26yk x=+，恒过定点()2,6Q.若直线 AB 斜率不存在，则1212,0 xxyy=+=.121212121166121224444yyyykkxxxx+=+=，解得122x
14、x=，所以直线 AB 的方程为2x=，过定点()2,6Q.综上，直线 AB 恒过定点()2,6Q.设点 M 到直线 AB 的距离为1d，点 N 到直线 AB 的距离为2d，1122132122MABNABAB dSdMQSdNQAB d=方法二：因为直线 AB 不过点()4,6P，所以可设直线 AB 方程为()()461m xn y+=.由221412xy=可得()()2244661412xy+=，即()()22(6)3(4)1262440yxyx+=，()()()()22(6)3(4)126244460yxyxm xn y+=，得()()()()()22121(6)122446243(4)0
15、nymnxymx+=，学科网（北京）股份有限公司等式左右两边同时除以2(4)x 得()()()2661211224243044yynmnmxx+=，()()2(1224)4 121 2430mnnm=+，121212661224244121yymnkkxxn+=+=+，解得16m=.所以直线 AB 方程为()()14616xn y+=，恒过定点()2,6Q 下同法一.22.解；（1）当0a=时，()()2,xxf xebxfxeb=+=，当0b 时，()0fx对任意 xR 恒成立，所以()f x 的单调增区间是(),+，无减区间；当0b 时，令()0fx，得lnxb，令()0fx，得lnxb时
16、，()f x 的单调增区间是()ln,b+，单调减区间是(),lnb.5 分（2）方法一：当12a=时，()2122xf xexbx=+，因为()()12f xf x=，所以12221122112222xxexbxexbx+=+，又因为122xx+=，不妨设121xx，所以()()()1122211111112222122xxexbxexbxx+=+.令()()()()()22221,(1)xxF xf xfxeebxx=+，当2220eb+，即1be+时，()0Fx对任意(),1x 恒成立，所以()F x 在(),1上单调递增，()()10F xF=，()0F x=在(),1上无解，不符题意
17、，舍去.当2220eb+时，因为()2xxFxee=在(),1上单调递增，所以()()10nFxF=+，所以存在()()002ln2,1,0 xbFx=.从而()F x 在()0,x上单调递增，()0,1x上单调递减.取()2422341tbbb=+，因为1t，所以221(2)2tet.此时()()22211(2)222ttF tetbtetbt=+()()2221tteebt=+()()24221tebt+()()214(2)2212tbt+()214222 tb tb=+0=学科网（北京）股份有限公司因为()0()0,0,(1)0F tF xF=且()F x 在()0,x上单调递增，()0
18、,1x上单调递减，所以必有0tx+.方法二：当12a=时，()2122xf xexbx=+，因为()()12f xf x=，所以12221122112222xxexbxexbx+=+，()()()1212121212xxeexxxxb xx+=因为122xx+=，且12xx，所以12121xxeebxx+=，令121,1(0)xt xt t=+，从而1112tteebt+=，即()1121tteet b+=，令()()1121,(0)ttg teebt t+=，则问题转化为()0g t=在()0,+上有解.()()()1121221.ttg teebeb+=+若()2210eb，即1be+时，
19、()0g t在()0,+上恒成立，所以()g t 在()0,+上单调递增，()()00g tg=，所以()0g t=在()0,+上无解，不符题意，舍去.学科网（北京）股份有限公司若()2210eb+时，()11nttgtee+=在()0,+上单调递增，()()00ngtg=，所以()g t在()0,+上单调递增，因为()()02210geb=，所以存在()()110,ln2,0tbg t=，从而()g t 在()10,t上单调递减，在()1,t+上单调递增.令()()()()20,2,2xxxh xexxh xex hxe=，所以()()ln222ln20h xh=，从而()()01h xh=，即()2,0 xexx，此时()()121ttg te eebt=()2121tetebt()221etebt 取2221(1)bbete+=，此时()222210etebt=，所以()20g t 因为()()12(0)0,0,0gg tg t=且()g t 在()10,t上单调递减，()1,t+上单调递增，所以必有 21tt，从而存在()()0120,0tt tg t=，符合题意.综上，1be+.学科网（北京）股份有限公司
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