1、徐州市2019-2020学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 命题“，使得”的否定是( ) , , , , 【答案】2. 不等式的解集是( ) 【答案】3. 等差数列前项和为，若，则( ) 【答案】4. 若平面的法向量分别为,且,则的值为( ) 【答案】5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为，则的值为( ) 【答案】6. 有同学用石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图1和图2所示. 图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,
2、9,16，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) 【答案】7. 已知都是实数，那么“”是“”的( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件【答案】8.蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角为.为使观赏视角最大，x应为( ) 【答案】二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选
3、项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9. 下列说法正确的有( ) 若，则 若，则 若，则 若，则【答案】10.若双曲线的一个焦点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是( ) 的方程为 的离心率为 焦点到渐近线的距离为 两准线间的距离为【答案】11.等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是( ) 若，则必有 若，则必有是中最大的项 若，则必有 若，则必有【答案】12.下列命题中正确的是( ) 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线若直线的方向向量为，平面的法
4、向量为，则直线与平面所成角的正弦值为【答案】三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若数列满足，则数列前项的和为 .【答案】14.在长方体中，则 .【答案】 15.若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，则取最小值时点的坐标为 .【答案】 16.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是 ，此时 .【答案】 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知，.（1）若，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围.【解】（1）由题意，得当时， 2分所以， 4分（2）由已知，是的充分条件，则 6分又 8分所以 解得， 所以的取值范围
5、是 10分18.(12分)已知函数，且不等式的解集是. （1）求的值；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【解】（1）因为不等式的解集是所以且的解是，2分所以，所以， 4分所以， 6分 （2）因为对于恒成立所以对恒成立， 8分当时，所以， 10分所以12分19.(12分)设为等差数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的项和.【解】（1）由已知，且，所以，2分所以 4分（2）由（1）知，6分所以，两式相减得， 4分 所以所以 12分20.(12分)已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，
6、交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.【解】（1）因为点到定点的距离比它到轴的距离大1，所以，点到定点的距离等于它到的距离，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，动点的轨迹的方程为 4分 （2）由题意，直线的方程为，设，由，得，所以， 6分又线段的中点为，所以，同理8分所以，所以直线，即 10分所以，直线过定点 12分21.(12分)如图，在三棱锥中，已知，平面平面，点分别是的中点，连接.（1）若，并异面直线与所成角的余弦值的大小；（2）若二面角的余弦值的大小为，求的长. 【解】（1）连结OC平面PAB平面ABC，POAB，PO平面ABC，所以POOC
7、AC=BC，点O是AB的中点，OCAB且 如图，建立空间直角坐标系2分， ， 4分从而， ，异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为6分（2）设，则 POOC，OCAB，OC平面PAB从而是平面PAB的一个法向量8分不妨设平面PBC的一个法向量为， 不妨令x=1，则y=1，则 10分由已知，得，化简，得 12分22.(12分)在直角坐标系中，已知椭圆的上顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点的横坐标为，且位于第一象限，点关于轴的对称点为点，是位于直线异侧的椭圆上的动点.若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；若动点满足，试探求直线的斜率是否为定值？说明理由.【解】（1）由题意，可得，则椭圆的标准方程为. 2分（2）由（1）可得点坐标为，则.设直线方程为，联立椭圆方程，化简可得，设，则， 所以当时，四边形面积最大值为. 6分由题意，因为，则直线斜率与直线斜率互为相反数.设直线的方程为，联立椭圆方程，化简可得，设，则，又，所以，设，同理可得，所以，所以直线的斜率为定值. 12分