1、第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知 识 梳 理 1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是且平行的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形；(3)棱台可由于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.全等公共顶点平行2
2、.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法 基本要求：长对正，高平齐，宽相等.在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.正前正左正上4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面.(2)原图形中平行于坐标轴
3、的线段，直观图中仍分别坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的.45垂直平行于不变一半常用结论与易错提醒 1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.2.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.3.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.4.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法
4、.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示图形不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的A时，把x，y轴画成相交成45或135，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以A也可能为135.(4)球的三视图均
5、相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)(2)(3)(4)2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.答案 A 3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧视图为图.答案 B 4.(2018上海卷)九章算
6、术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12D.16 解析 符合题目条件的面有四个，每一个都有4个顶点，所以选择D.答案 D 5.正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.解析 画出坐标系 xOy，作出OAB 的直观图 OAB(如图).D为 OA的中点.易知DB12DB(D 为 OA 的中点)，SOAB12 22 SOAB 24 34 a2 616a2.答案 616a26.(2020北京平谷区质检)某四棱锥的三
7、视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为_个.解析 由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图为如图中的PABCD；由图得该棱锥的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个.答案 4【例1】(1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1 C.2D.3 考点一 空间几何体的结构特征(2)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面
8、截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1 C.2D.3 解析 (1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知错误，正确.对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.答案(1)A(2)B 规律方法(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即
9、要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析 如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形
10、是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由圆锥母线的概念知，选项D正确.答案 D 考点二 空间几何体的三视图 角度1 由空间几何体的直观图判断三视图【例21】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()多维探究解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合.答案 B 角度2 由三视图判定几何体【例22】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱 C
11、.四棱锥 D.四棱柱(2)(2020北京昌平区二模)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中直角三角形的个数为()A.1B.2 C.3D.4 解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.(2)由三视图可得，该四棱锥如图PABCD，直角三角形有：PAD、PCD、PAB，共3个.答案(1)B(2)C 规律方法(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认.(2)根据三视图还原几何体 对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.根据三视图的形状及相关数
12、据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.提醒 对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.【训练2】(1)(角度1)如图所示，由几个棱长相等的小正方体搭成的一个几何体.现老师给小明四张图，要求其删除其中的一张图，使得剩下的三张图可以作为该几何体的三视图，则小明要删除()(2)(角度2)(2020北京丰台区期末)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中最长的棱的长度为()A.2 B.5C.2 2D.2 3解析(1)由几何体的直观图得其正视图为C中的图形，侧视
13、图为A中的图形，俯视图为D中的图形，故选B.(2)由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中 PA 与底面垂直，且 ADBC，ADAB，PAABBC2AD2，由勾股定理可得 PDCD 5，PB2 2，PC PA2AB2BC22 3，所以最长的棱为 2 3.答案(1)B(2)D 考点三 空间几何体的直观图【例 3】已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB 2，下底 AB3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为_.解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为 OE（2）2121，所以 OE12，EF 24，则直观图
14、 ABCD的面积 S132 24 22.答案 22规律方法(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成 45或 135)和“二测”(平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图 24 S 原图形.【训练3】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.解析 如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.在 RtABE 中，AB1，ABE45，BE 22.又四边形 AECD 为矩形，ADEC1.BCBEEC 22 1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形ABCD.在梯形 ABCD中，AD1，BC 22 1，AB2.这块菜地的面积 S12(ADBC)AB1211 22 22 22.答案 2 22
