1、知识系统整合规律方法收藏1本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移2共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础3向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或 180角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是 90时，它们的数量积等于 0.零向量与任何向量的数量积等于 0.通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离
2、、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直4平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决5正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明，求值问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价
3、转化构造方程及函数求解6学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比7向量是数形结合的载体在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段学科思想培优向量的线性运算向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们的运算法
4、则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.典例 1 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，点 M，N 分别是 DA，BC 的中点，且DCABk，设AD e1，ABe2，以e1，e2为基底表示向量DC，BC，MN.解 ABe2，且DCABk，DC kABke2.ABBCCD DA 0，BCABCD DAABDC AD e1(k1)e2.又M
5、N NBBAAM 0，且NB12BC，AM 12AD，MN AM BANB12AD AB12BCk12 e2.答案 典例 2 已知线段 AB 的端点为 A(x,5)，B(2，y)，直线 AB 上的点C(1,1)，且|A C|2|B C|，求 x，y 的值解 由|A C|2|B C|，可得 A C2B C，又 AC(1x,15)，2B C2(12,1y)(6,22y)，当 AC2B C时，有1x6，422y，解得x5，y3.当 AC2BC时，有1x6，422y，解得x7，y1.由可知x5，y3或x7，y1.答案 向量的数量积运算向量的数量积运算是本章的核心，由于向量数量积的运算及其性质涵盖向量的
6、长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最为广泛利用向量的数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式等知识融合在一起典例 3 在OAB 中，OA a，OB b，OD 是 AB 边上的高，若AD AB，则实数 等于()Abaa|ab|Baba|ab|2Cbaa|ab|2Daba|ab|解析 AD AB，OD OA(OB OA)，OD OB(1)OA b(1)a，又OD 是 AB 边上的高，OD AB0，即OD(OB OA)0，(1)ab(ba)0.整理可得(ab)2(ab)a，即 aba|ab|2.解析 答案 B答案 典
7、例 4 平面内有向量OA(1,7)，OB(5,1)，OP(2,1)，点 M 为直线 OP 上的一动点(1)当MA MB 取最小值时，求OM 的坐标；(2)在(1)的条件下，求 cosAMB 的值解(1)设OM(x，y)，点 M 在直线 OP 上，向量OM 与OP 共线，又OP(2,1)x1y20，即 x2y.答案 OM(2y，y)又MA OA OM，OA(1,7)，MA(12y,7y)同理MB OB OM(52y,1y)于是MA MB(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y12.可知当 y 20252 时，MA MB 有最小值8，此时OM(4,2)答案 (2)当OM(4,2)，即 y2
8、 时，有MA(3,5)，MB(1，1)，|MA|34，|MB|2，MA MB(3)15(1)8.cosAMB MA MB|MA|MB|834 24 1717.答案 向量的应用向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用典例 5 在ABC 中，ABAC0，|AB|12，|BC|15，l 为线段 BC的垂直平分线，l 与 BC 交于点 D，E 为 l 上异于 D 的任意一点(1)求AD CB的值；(2)判断AECB的值是否为一个常数，并说明理由解(1)ABAC0，ABAC又|AB|12，|BC
9、|15，|AC|9.由已知可得AD 12(ABAC)，CBABAC，AD CB12(ABAC)(ABAC)12(AB 2AC 2)12(14481)632.(2)AECB的值为一个常数理由：l 为线段 BC 的垂直平分线，l 与 BC 交于点 D，E 为 l 上异于 D的任意一点，DE CB0.故AECB(AD DE)CBAD CBDE CBAD CB632.答案 典例 6 平面向量 a(3，1)，b12，32，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t，使 xa(t23)b，ykatb，且 xy，试求函数关系式 kf(t)解 由 a(3，1)，b12，32 得ab0，|a|2，|b|1，由 xy
10、，得 xya(t23)b(katb)0，即ka2tabk(t23)abt(t23)b20，4kt33t0，k14(t33t)，即 kf(t)14(t33t)答案 典例 7 已知ABC 中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC 边上的高为 AD(1)求证：ABAC；(2)求点 D 和向量AD 的坐标；(3)设ABC，求 cos；(4)求证：AD2BDCD解(1)证明：AB(1，2)(2,4)(3，6)，AC(4,3)(2,4)(2，1)ABAC32(6)(1)0，ABAC答案(2)设 D 点坐标为(x，y)，则AD(x2，y4)，BC(5,5)ADBC，AD BC5(x2)5(y4)0
11、.又BD(x1，y2)，而BD 与BC共线，5(x1)5(y2)0，联立解得 x72，y52.故 D 点坐标为72，52.AD 722，524 32，32.答案 (3)cos BABC|BA|BC|35653262 52523 1010.(4)证明：AD 32，32，BD 92，92，DC 12，12，|AD|292，|BD|9229229 22，|DC|122122 22.|AD|2|BD|DC|，即 AD2BDCD答案 典例 8 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量m(ac，b)与向量 n(ac，ba)互相垂直(1)求角 C；(2)求 sinAsinB 的取值范
12、围解(1)由已知可得，(ac)(ac)b(ba)0a2b2c2ab，cosCa2b2c22ab12，所以 C3.答案(2)由 C3，得 AB23，sinAsinBsinAsin23 A sinAsin23 cosAcos23 sinA32sinA 32 cosA 332 sinA12cosA 3sinA6，由 0A23，6A656 12sinA6 1.所以 sinAsinB 的取值范围是32，3.答案 数形结合思想向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面特征两条直线平行、垂直，三点共线等几何问题，
13、可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题典例 9 已知向量 a 与 b 不共线，且|a|b|0，则下列结论正确的是()A向量 ab 与 ab 垂直B向量 ab 与 a 垂直C向量 ab 与 a 垂直D向量 ab 与 ab 共线解析 如图所示，作OA a，OC b，以 OA 和 OC 为邻边作OABC由于|a|b|0，则四边形 OABC 是菱形所以必有 ACOB又因为 abOB，abCA，所以(ab)(ab)解析 答案 A答案 典例 10 已知向量OB(2,0)，向量OC(2,2)，向量CA(2cos，2sin)，则向量OA 与向量OB 的夹角的取
14、值范围为()A0，4B4，512C512，2D12，512解析 如图，向量CA的终点 A 在以点 C(2,2)为圆心、半径为 2的圆上，OA1，OA2 是圆的两条切线，切点分别为 A1，A2.在 RtOCA1 中，|OC|2 2，|CA1|2，所以COA16.解析 所以COA2COA16.因为COB4，所以A1OB46 12，A2OB46512.所以向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是12，512.解析 答案 D答案 典例 11 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南
15、偏西 60且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB5(3 3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB，DBABsinDABsinADB 53 3sin45sin10553 3sin45sin45cos60cos45sin605 3 3131210 3(海里)，答案 又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001200210 320 312900，CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)答：该救援船到达 D 点需要 1 小时答案