1、第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2017全国卷理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(D)A12种B18种C24种D36种解析由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种)故选D2已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合
2、(C)A24个 B36个 C26个 D27个解析从三个集合中取出两个集合，有C3种取法分别是集合A，B；集合A、C；集合B、C当取出A、B时，从这两个集合各取一个元素，有CC12个；当取出A、C时，从这两个集合各取一个元素，有CC8个；当取出B、C时，从这两个集合各取一个元素，有CC6个；一共可以组成128626个集合3(x3x2x1)(y2y1)(z1)展开后的不同项数为(D)A9B12C18D24解析分三步：第一步，从(x3x2x1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2y1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z1)中任取一项有2种方法根据分步乘法计数原理共有43224(项)，故选D4
3、(2018全国卷理，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)A24B18C12D9解析由题意可知EF共有6种走法，FG共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318种走法，故选B5某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为(B)A96B180C360D720解析由这6个数字组成的六位数个数为180，即最多尝试次数为180.故选B6(2019全国卷理，4)(12x2
4、)(1x)4的展开式中x3的系数为(A)A12B16C20D24解析方法1：(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C2C12.故选A方法2： (12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)， x3的系数为142412.故选A7将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有(A)A10种B20种C36种D52种解析分为两类：1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C4种放球方法；1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C6种放球方法共有CC10种不同的放球方法8从0、1、2、3、4、5这六个数字中
5、任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(C)A300B216C180D162解析本小题主要考查排列组合的基础知识由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有CCCA108，(2)不选“0”，共有CA72，由分类加法计数原理得72108180，故选C9(2018柳州一模)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i1，2，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(C)A22种B2
6、4种C25种D36种解析由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4；共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5；又可以排列出A6种结果，3,3,6；5,5,2；有6种结果，4,4,4；有1种结果根据分类计数原理知共有24125种结果，故选C10若xR，nN，定义Mx(x1)(x2)(xn1)，例如M(5)(4)(3)(2)(1)120，则函数f(x)xM的奇偶性为(A)A是偶函数而不是奇函数B
7、既是奇函数又是偶函数C是奇函数而不是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析由题意知f(x)x(x9)(x8)(x9191)x2(x21)(x24)(x281)故为偶函数而不是奇函数11(2018石景山区一模)现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有(D)A24种B30种C36种D48种解析根据题意，设需要涂色的四个部分依次分、，对于区域，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域，与区域相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域，与区域相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不
8、同的涂色方法有432248种；故选D12(2018保山二模)一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种(D)A5B25C55D75解析根据题意，分4种情况讨论：，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，有C5种飞行方式，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，有CC20种飞行方式，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个
9、单位，有CC30种飞行方式，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，有CA20种飞行方式，则一共有520302075种飞行方式，故选D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13若(2x3)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于_7_解析二项式的通项为Tr1C(2x3)nr()rC2nrx3n，令3nr0，即rn，而rN*.n为7的整数倍，即最小的正数n等于714将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_90_种(用数字作答)解析本题考查了排
10、列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以A得：A90种15(2019浙江卷，13)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_16_，系数为有理数的项的个数是_5_解析由二项展开式的通项公式可知Tr1C()9rxr，rN,0r9，当为常数项时，r0，T1C()9x0()916当项的系数为有理数时，9r为偶数，可得r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是516如图，在排成44方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有1个顶点在圆内的三角形共有_312_个解析分为三类：3个顶点在圆内的三角形有C4个；2个顶点在圆内的三角形
11、有CC60个；1个顶点在圆内的三角形有C(C4)248个所以至少有1个顶点在圆内的三角形共有460248312个三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知Ax|1log2x3，xN*，Bx|x6|3，xN*，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？解析A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5525(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有555434个不同的点18(本题满分12分)求证：对任何
12、非负整数n,33n26n1可被676整除证明当n0时，原式0，可被676整除当n1时，原式0，也可被676整除当n2时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC26n1C262C261)26n126nC26n1C262每一项都含262这个因数，故可被262676整除综上所述，对一切非负整数n,33n26n1可被676整除19(本题满分12分)已知(1m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112(1)求m，n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1m)n(1x)的展开式中含x2项的系数解析(1)由题意可得2n256，解得n8通项Tr
13、1Cmrx，含x项的系数为Cm2112，解得m2，或m2(舍去)故m，n的值分别为2,8(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为CCCC281128(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，所以含x2项的系数为C24C22100820(本题满分12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；(2)其中的男生甲必须是课代表，但又不能担任数学课代表；(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表解析(1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生
14、，三是没有女生，依题意得(CCCCC)A5520种(2)先选出4人，有C种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有AA种方法，方法数为CAA3360种(3)由题意知甲和乙两人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A18；综上可知共有2018360种21(本题满分12分)用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除；(2)比21034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶
15、数解析(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3AA12.故满足条件的五位数共有181230(个)(2)当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3A18个当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2A12个当末位数字是4时，首位数字是3的有A6个，首位数字是2时，有3个，共有9个综上知，比21034大的偶数共有1812939个(3)解法一：可分为两类：末位数是0，有AA4(个)；末位数是2或4，有AA4(个)；故共有AAAA8(个)解法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A个；首位从2,4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，故共有AAA8(个)22(本题满分12分)已知n(nN*)的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求n的展开式中a1项的二项式系数解析对于5：Tr1C(4)5rrC(1)r45r5b若Tr1为常数项，则105r0，所以r2，此时得常数项为T3C(1)2435127令a1，得n展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n27，所以n7.对于7：Tr1C7r()rC(1)r37ra若Tr1为a1项，则1，所以r3所以n的展开式中a1项的二项式系数为C35
