1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高一数学上学期摸底考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 直线xsin的斜率是A. B. C. D. 2. 已知直线：，：若，则实数a的值是A. 0B. 2或C. 0或D. 3. 若直线与圆相切，则a的值为A. B. C. 3D. 4. 若圆的一条弦AB的中点为，则垂直于AB的直径所在直线的方程为A. B. C. D. 5. 过点引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是A. 若，垂直于同一平
2、面，则与平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图单位：如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D. 9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为
3、3，估算出堆放的米约有 A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛10. 已知A，B是球O的球面上两点，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为A. B. C. D. 11. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. B. C. D. 12. 已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则 _ 14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱
4、锥的侧面积为_15. 若圆与圆的公共弦的长为，则_三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程17. 已知点，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点求M的轨迹方程；当时，求l的方程及的面积18. 设x，y满足约束条件：的可行域为M 求的最大值与的最小值；若存在正实数a，使函数的图象经过区域M中的点，求这时a的取值范围19. 如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到
5、该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处为河岸，求新桥BC的长；当OM多长时，圆形保护区的面积最大？20. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且，若D为线段AC的中点，求证；平面PDO；求三棱锥体积的最大值；若，点E在线段PB上，求的最小值21. 如图所示，在直四棱柱中，点M是棱上一点求证：面；求证：；试确定点M的位置，使得平面平面D.22. 如图，四棱柱中，底面ABCD，四边形ABCD为梯形，且，过、C、D三点的平面记为，与的交点为Q证明：Q为的中点；求此四棱柱被平面所分成上下两部分的
6、体积之比；若，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小数学试卷答案和解析1.【答案】A【解析】解：直线的斜率故选：A直线的斜率，即可得出本题考查了直线的斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.【答案】C【解析】解：直线：，：，且，解得或 故选：C 由垂直可得，解方程可得本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题3.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于简单题求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可【解答】解：圆的方程可化为，因为直线与圆相切，所以有，即故选：B4.【答案】B【解析】解：设圆的圆心为C
7、，则C的坐标为：设直线AB的斜率为k由于弦AB的中点为，则，又，垂直于直线AB的方程为即：，则垂直于AB的直径所在直线的方程为，故选：B设圆心为C，利用，求出AB的斜率，进而可求直线AB的方程本题考查圆的方程，考查圆的性质，考查计算能力，属于基础题5.【答案】D【解析】解：由，得所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分含与x轴的交点，设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则，直线l的方程为，即则原点O到l的距离，l被半圆截得的半弦长为则令，则，当，即时，有最大值为此时由，解得故答案为D由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分含与x轴的交点，由此可得到过C点的直线与曲线相交
8、时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了空间线线、线面、面面关系的判断，属于基础题利用空间中线线、线面、面面关系对选项逐一分析解答【解答】解：对于A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行、相交或者异面；故B错误；对于C，若，不
9、平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条直线平行；故D正确；故选：D7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为：故选D8.【答案】B【解析】解：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：
10、故选：B利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积即可本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆锥的体积的计算，比较基础根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为立方尺，堆放的米约有斛，故选：B10.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大是关键当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：
11、如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时，故，则球O的表面积为，故选C11.【答案】B【解析】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体故选：B画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力是基础题12.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径【解答】解：因为三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为，所以球的
12、半径为故选C13.【答案】4【解析】解：正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，整理得，解得故答案为：4由正棱锥的体积公式得，由此能求出a的值本题考查正三棱锥的棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意棱锥的体积公式的合理运用14.【答案】12【解析】解：一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，棱锥的斜高为：，该六棱锥的侧面积为：故答案为：12判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题15.【答案】1【解析】【分析】本小题考查圆与
13、圆的位置关系，基础题画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可【解答】解：由已知的半径为，圆心，公共弦所在的直线方程为大圆的弦心距为：由图可知，解之得故答案为116.【答案】解：设直线为，交x轴于点，交y轴于点， 得，或 解得，或，或为所求【解析】点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积求出斜率，从而得到1的直线方程本题考查直线方程的求法，本题的解题关键是求直线的斜率17.【答案】解：由圆C：，得，圆C的圆心坐标为，半径为4设，则，由题意可得：即整理得：的轨迹方程是由知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，直线l的斜率为
14、直线l的方程为，即则O到直线l的距离为又N到l的距离为，【解析】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0，列式得M的轨迹方程；设M的轨迹的圆心为N，由得到，求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线l的方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案18.【答案】解：由，得由，得 由，得，可行域M为如图 ，又，A是y轴的截距， 过点时，是表示区域M上的点到原点距离平方如图使所求距
15、离的平方最小，过区域M中的点，而区域中又，函数图象过点，当时， 满足过区域M中的点，只须图象与射线有公共点只须时， 所求a的取值范围是【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可判断区域的中点的范围，然后推出关系式，即可求解a的范围本题考查线性规划的应用，考查分析问题解决问题的能力19.【答案】解：如图，过B作于E，过A作于F，设，则，解得：，则；如图，设BC与切于Q，延长QM、CO交于P，设，则，设半径为R，、O到上任一点距离不少于80m，则，解得：当且仅当时R取到最大值时，保护区面积最大【解析】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题
16、在四边形AOCB中，过B作于E，过A作于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；设BC与切于Q，延长QM、CO交于P，设，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大20.【答案】解：在中，因为，D为AC的中点，所以，又PO垂直于圆O所在的平面，所以，因为，所以平面PDO因为点C在圆O上，所以当时，C到AB的距离最大，且最大值为1，又，所以面积的最大值为，又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为：在中，所以，同理，所以，在三棱锥中，将
17、侧面BCP绕PB旋转至平面，使之与平面ABP共面，如图所示，当O，E，共线时，取得最小值，又因为，所以垂直平分PB，即E为PB中点从而亦即的最小值为：【解析】由题意可证，又，即可证明平面PDO当时，C到AB的距离最大且最大值为1，又，即可求面积的最大值，又三棱锥的高，即可求得三棱锥体积的最大值可求，即有，由，可证E为PB中点，从而可求，从而得解本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题21.【答案】解：证明：由直四棱柱，得且，所以是平行四边形，所以而平面，平面，所以平
18、面证明：因为面ABCD，面ABCD，所以，又因为，且，所以面，而面，所以当点M为棱的中点时，平面平面取DC的中点N，的中点，连接交于O，连接OM因为N是DC中点，所以；又因为DC是面ABCD与面的交线，而面面，所以面又可证得，O是的中点，所以且，即BMON是平行四边形，所以，所以平面，因为面，所以平面平面D.【解析】在平面内找到和平行的直线BD即可利用线线平行来推线面平行先利用条件和证得面，再证明即可因为棱上最特殊的点是中点，所以先看中点取DC的中点N，的中点，连接交于O，面面，面而又可证得，所以可得平面平面平面D.本题考查平面和平面垂直的判定和性质在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面
19、内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直22.【答案】证明：四棱柱中，四边形ABCD为梯形，平面平面，平面与面QBC、平面的交线平行， ，为的中点；解：连接QA，QD，设，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积为，设，则，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比；解：在中，作，垂足为E，连接，则平面，为平面与底面ABCD所成二面角的平面角，梯形ABCD的面积为6，平面与底面ABCD所成二面角的大小为【解析】证明平面平面，可得，即可证明Q为的中点；设，则，则，利用，即可求出此四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比；中，作，垂足为E，连接，则平面，可得为平面与底面ABCD所成二面角，求出，可得，即可求平面与底面ABCD所成二面角的大小本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题