1、河北省张家口市宣化第一中学2019-2020高二数学上学期月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为A. 18B. 20C. 24D. 262. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”双方从各自的马匹中随机选
2、一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C. D. 4. 随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费元678人数102020这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是A. ，B. ，C. 7，D. 7，5. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为A. B. C. D. 6. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则A. B. C. D. 7. 已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则的面积为A. B. C. D. 8. 已知动点的坐标满足方程，则M的轨迹方程是A. B. C. D. 9. 已知非零向量不共线，如果，则四点A，B，C，A
3、. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D. 可能不共面10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点即横、纵坐标均为整数的点；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 11. 记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，则的取值范围为A. B. C. D. 12. 设在x处可导，则等于A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量1，且，则_14. 如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生
4、在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为_，_15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是_16. 函数在R上不是单调函数，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：“曲线：表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线：表示双曲线”若命题p是真命题，求m的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围18. 20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：求频率分布直方图中a的值；分别求出成绩落在与中的学生人数；从成绩在的学生任
5、选2人，求此2人的成绩都在中的概率19. 如图，已知三棱锥中，二面角的大小为，且，求证：平面BCD；二面角为，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值20. 若直线l为曲线：与曲线：的公切线，求直线l的斜率为多少？21. 已知椭圆E：过点，且离心率e为求椭圆E的方程；设直线交椭圆E于A，B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由已知抛物线过点求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，求证：为定值数学试卷答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决
6、本题的关键，属基础题根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键【解答】解：由分层抽样得，解得，故选D2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】解：，即，若，则，但，即推不出，是的充分不必要条件故选A3.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的概率求法，属于基础题根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由古典概型的概率公式计
7、算可得答案【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种可能，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共3种可能，则田忌的马获胜的概率为，故选：A4.【答案】A【解析】解：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是，方差是故选：A根据题目中的数据，求出它们的平均数和方差即可本题考查了计算加权平均数和方差的问题，是基础题5.【答案】D【解析】解：根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则有，解可得；故选：D根据题意，由椭圆的标准方
8、程的形式可得，解可得m的取值范围，即可得答案本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆标准方程的形式6.【答案】A【解析】解：双曲线C的离心率为2，即，点A在双曲线上，则，又，解得，则由余弦定理得，故选：A根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论本题主要考查双曲线的定义和性质，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题7.【答案】C【解析】解：根据抛物线方程得：焦点坐标，直线AB的斜率为由直线方程的点斜式方程，设AB：将直线方程代入到抛物线方程当中，得：整理得：设，由一元二次方程根与系数的关系得：，所以弦长O到直线的距离为：，的面积为：故选：C分析：求
9、出抛物线的焦点坐标，用点斜式设出直线方程：，与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度利用点到直线的距离求出三角形的高，即可求解面积本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键8.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线定义和性质、求点的轨迹方程的方法，两点间距离公式的应用，属基础题由动点的坐标满足方程及两点间的距离公式，得到其轨迹是以为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，进而得到对应的标准方程【解答】解：设，
10、由于动点的坐标满足方程，则，故点M到定点与到定点的距离差为8，则动点的轨迹是以为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，由于，则，故M的轨迹的标准方程为：故选：D9.【答案】C【解析】解：因为非零向量不共线且，即，由平面向量基本定理可知，四点A，B，C，D共面故选：C通过已知向量关系，求出，说明四点A，B，C，D共面本题考查平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，考查计算能力10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线，属中档题将x换成方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得【解答】解：将x换成方程不变，所以图形关于y轴对称，当时，代入得，即曲线经过，当时，方程变
11、为，所以，解得，所以x只能取整数1，当时，解得或，即曲线经过，根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故正确，当时，由得，当时取等，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确，在x轴上方图形面积大于矩形面积，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故错误，故选C11.【答案】B【解析】解：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有0，1，1，0，由1，得，所以0，1，因为不是平角，所以为钝角等价于，则等价于即，得因此，的取值范围是故选B由不可能为平角，则为钝角
12、等价于为钝角等价于，用关于的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了导数的定义，属于基础题利用导数的定义即可得出【解答】解：在x处可导，故选C13.【答案】或【解析】解：向量1，且，设，则，解得，或故答案为：或设，则，由此能求出结果本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为15，；又乙组数据的平均数为，解得：；综上，x、y的值分别为5、8故答案为：58根据茎叶图
13、中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题15.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简整理的运算能力，属于中档题设右焦点，将代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式，计算即可得到所求值方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求【解答】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，由，可得，即有，化简为，由，即有，由，可得，可得，另解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，则十，因为，代入得，由
14、，可得，可得故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于简单题依题，函数在R上不是单调函数等价于与x轴有两个不同的交点，从而求出a的取值范围【解答】解：，又函数在R上不是单调函数，与x轴有两个不同的交点，方程有两个相异的实根，即或故答案为17.【答案】解：若p为真：则解得，或；若q为真，则，即，是q的必要不充分条件，则，或，即或，解得或【解析】本题考查了椭圆与双曲线的概念及充分条件，必要条件的应用，属于中档题利用椭圆的标准方程求出m的范围；若q为真，则，即，由p是q的必要不充分条件，得到，或，即可求出t的取值范围18.【答案】解：根据直方图知组距为10，
15、由，解得成绩落在中的学生人数为，成绩落在中的学生人数为记成绩落在中的2人为A，B，成绩落在中的3人为C，D，E，则从成绩在的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为【解析】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题根据频率分布直方图求出a的值；由图可知，成绩在和的频率分别为和，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求；分别列出满足的基本事件，再找到在的事件个数，根据古典概率公式计算即可19.【答案】解：中，由，解得，从而，；又二面
16、角的大小为，即平面平面ABC，而平面平面，平面ABC，故AC平面BCD；以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC的法向量0，设平面ACD的法向量m，由，易知，从而0，解得，结合实际图形，可知n取1时，二面角为，应舍去，所以0，易知，0，故，则，设直线AE与平面ACD所成的角为，则，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为【解析】通过中，利用，得到；结合二面角的大小为，得到平面平面ABC，然后证明平面BCD；以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图
17、所示的空间直角坐标系，平面ACD的法向量，利用二面角为，求解平面ABC的法向量，求出，利用空间向量的数量积求解直线AE与平面ABC所成的角的正弦值即可本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角以及二面角的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20.【答案】解：曲线：，则，曲线：，则，直线l与曲线的切点坐标为，则切线方程为，直线l与曲线的切点坐标为，则切线方程为，或，直线l的斜率为0或【解析】求出曲线的，曲线的，设出切点坐标，求出切线的斜率，得到切线方程，列出方程求解即可本题考查曲线的切线方程的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题21.【答案】解法一：由已知得，解得，椭
18、圆E的方程为设点，AB中点为由，化为，故，故G在以AB为直径的圆外解法二：同解法一设点，则，由，化为，从而，又，不共线，为锐角故点在以AB为直径的圆外【解析】解法一：由已知得，解得即可得出椭圆E的方程设点，AB中点为直线方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：，作差即可判断出解法二：同解法一设点，则，直线方程与椭圆方程联立化为，计算即可得出，进而判断出位置关系本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题22.【答案】解：由题意抛物线过点，所以，所以抛物线的方程为；证明：设过点的直线方程为，即，代入得，设，则，所以，所以为定值【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，难度一般利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；设过点的直线方程为，即，代入，利用韦达定理，结合斜率公式化简，即可证明为定值