1、课时分层作业(十九)几何概型均匀随机数的产生(建议用时：60分钟)一、选择题1.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在阴影部分的概率是()A.B.C.D.B由图可知阴影部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P(A)，故选B.2在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概
2、率为()A0.008B0.004C0.002D0.005D该问题可转化为与体积有关的几何概型求解，概率为0.005.3.祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值正三角形的边长为4，若总豆子数n1 000，其中落在圆内的豆子数m618，则估算圆周率的值是(为方便计算取1.70，结果精确到0.01)()A3.13 B3.14 C3.15 D3.16C由题意可得，S正三角形4，内切圆的半径r内，S内切圆，则，3.15183.15.4将0
3、,1内的均匀随机数a1转化为2,6内的均匀随机数a，需实施的变换为()C因为随机数a10,1，而基本事件都在2,6上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为2，所以8a1再变为8a12，故变换公式为a8a12.5.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4.在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为()A. B. C. D.C正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1，设正方体的体积为V，正方体的内切球的体积为V1，“牟合
4、方盖”的体积为V2，正方体的体积为：V238，正方体的内切球的体积为：V113，由题意得，则“牟合方盖”的体积为：V2，所以在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为P.二、填空题6在区间2,4上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.3由|x|m，得mxm，当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.7利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2xa0无实根的概率为_因为方程无实根，故14a，即所求概率为.8小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若
5、此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_记事件A“打篮球”，则P(A)，记事件B“在家看书”，则P(B)P(A).故P()1P(B).三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率P1；(2)求点M落在三棱锥BA1B1C1内的概率P2；(3)求点M到面ABCD的距离大于的概率P3；(4)求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率P4.解V正方体a3.(1)V三棱柱ABCA1B1C1a2aa3，所求概率P1.(2)V三棱锥BA1B1C1SA1B1C1BB1a2a
6、a3，所求概率P2.(3)所求概率P3.(4)所求概率P4.10两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25 km，下午3：00张三在基地正东30 km处向基地行驶，李四在基地正北40 km处也向基地行驶，试求下午3：00后他们可以交谈的概率 解记事件A下午3：00后张三、李四可以交谈设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x0,30，y0,40，则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x，y)，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40 km和30 km的矩形区域表示该试验
7、的所有结果构成的区域，它的总面积为1 200 km2，可以交谈的区域为x2y2252的圆及其内部满足x0，y0的部分，由几何概型的概率计算公式得P(A)0.41.1已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A.B.C.D.A由题意可知，三角形的三条边长的和为5121330，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3101124，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.2节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒
8、为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.C设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则如图，不等式组所表示的图形面积为16，不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16412，由几何概型的公式可得P.3.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”如图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落
9、在黑色区域的概率为_设大圆面积为S1，小圆面积S2，则S14216，S212，可得黑色区域的面积为(S1S2)，所以落在黑色区域的概率为P.4.如图，边长为2的正三角形ABC内接于圆O，点P为弧AC上任意一点，则PBC的面积大于的概率为_因为ABC的边长为2，所以ABC的高为3，设外接圆O的半径为r，则2r4，所以r2，所以O点到BC的距离为1，过点O作直线与BC平行交弧AC于点D(图略)，DBC的面积恰好为，所以点P由D点向A点移动的过程中，PBC的面积越来越大；点P由D点向C点移动的过程中，PBC的面积越来越小，因此，为使PBC的面积大于，只需点P由D点向A点移动，所以由几何概型可知，PB
10、C的面积大于的概率等于AOD与AOC大小之比因为AOD，AOC，所以PBC的面积大于的概率为P.5设关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0,3上任取的一个数，b是从区间0,2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率解设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab所以所求的概率为P(A).