1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.1 数学归纳法原理 3.1.1 数学归纳法原理 3.1.2 数学归纳法应用举例 上一页返回首页下一页1.理解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.上一页返回首页下一页基础初探教材整理 1 归纳法由有限多个个别的特殊事例得出的推理方法，通常称为归纳法.一般结论上一页返回首页下一页设函数f(x)xx2(x0)，观察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)f(f1(x)x3x4，f3(x)f(f2(x)x7x8，f4(x)f(f3(x)x15x16，上一页返回首页下一页根据以上事实，归纳推理，得当nN且n2时，fn(x
2、)f(fn1(x)_.上一页返回首页下一页【解析】依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项bn2n，所以当n2时，fn(x)f(fn1(x)x2n1x2n.【答案】x2n1x2n上一页返回首页下一页教材整理 2 数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当 n 取初始值 n0(例如 n00，n01 等)时命题成立.(2)假设当 nk(k 为自然数，kn0)时命题正确，证明当 nk1 时命题也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题
3、对于从初始值 n0 开始的所有自然数都正确.这种证明方法叫做数学归纳法.上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型数学归纳法的概念 用数学归纳法证明：1aa2an1 1an21a(a1，nN)，在验证n1成立时，左边计算的结果是()【导学号：38000054】A.1 B.1aC.1aa2D.1aa2a3【精彩点拨】注意左端特征，共有n2项，首项为1，最后一项为an1.上一页返回首页下一页【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，所以n
4、1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C上一页返回首页下一页1.验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2.递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.上一页返回首页下一页再练一题1.下列四个判断中，正确的是()A.式子1kk2kn(nN)，当n1时为1B.式子1kk2kn1(nN)，当n1时为1kC.式子11121312n1(nN)，当n1时为11213D.设f(n)1n1 1n213n1(nN)，则f(k1)f(k)13k213k313k4上一页返回首页下一页【解析】对于选项A，n1时，式子
5、应为1k；选项B中，n1时，式子应为1；选项D中，f(k1)f(k)13k213k313k4 1k1.【答案】C上一页返回首页下一页用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：112131412n1 12n1n11n2 12n(nN).【精彩点拨】要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同.因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并.上一页返回首页下一页【自主解答】当n1时，左边1 12 12 111 右边，所以等式成立.假设nk(k1，kN)时等式成立，即 112131412k1 12k 1k1 1k2 12k.则当nk1时，左
6、边112131412k1 12k12k112k2 上一页返回首页下一页1k1 1k2 12k 12k112k2 1k2 12k12k1 1k112k2 1k2 12k12k112k2右边，所以，nk1时等式成立.由知，等式对任意nN成立.上一页返回首页下一页1.用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明nk1成立
7、时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节.上一页返回首页下一页再练一题2.用数学归纳法证明：12414616812n2n2n4n1(其中nN).【证明】(1)当n1时，等式左边 12418，等式右边141118，等式成立.上一页返回首页下一页(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即 124 14612k2k2k4k1成立，那么 当nk1时，124 146 16812k2k212k12k12 k4k114k1k2 kk214k1k2 上一页返回首页下一页k124k1k2k14k11，即nk1时等式成立.由(1)(2)可知，对任意nN等式均成立.上一页返回首页下一页数学归纳法证明整除问
8、题 求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.【精彩点拨】对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除.若A，B都能被C整除，则AB，AB也能被C整除.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)当n1时，a11(a1)21-1a2a1，命题显然成立.(2)假设nk(kN，且k1)时，ak+1(a1)2k-1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k+1aak+1(a1)2(a1)2k-1 aak+1(a1)2k-1(a1)2(a1)2k-1a(a1)2k-1 aak+1(a1)2k-1(a2a1)(a1)2k-1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2a1整除，故nk
9、1时命题成立.由(1)(2)知，对nN，命题成立.上一页返回首页下一页利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.上一页返回首页下一页再练一题3.求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除.上一页返回首页下一页【证明】(1)当n1时，13(11)3(12)336,36能被9整除，命题成立.(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.由nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233 k3(k1)3(k
10、2)39(k23k3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故nk1时，命题也成立.由(1)和(2)可知，对nN命题成立.上一页返回首页下一页证明几何命题 平面内有n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论.【精彩点拨】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明：上一页返回首页下一页【自主解答】当n2时，f(2)1；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)6.因此猜想f(n)nn12(n2，nN)，下面利用数学归纳法证明：(1)当n2时，两条相交直线有一个交点，又f
11、(2)122(21)1，n2时，命题成立.上一页返回首页下一页(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)12k(k1).当nk1时，任何其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k)kk12.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个.上一页返回首页下一页f(k1)f(k)kkk12kk2k2 kk12k1k112.当nk1时，命题成立.由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2时成立.上一页返回首页下一页1.从特殊入手，寻找一般性结论，并探
12、索n变化时，交点个数间的关系.2.利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律.并结合图形直观分析，要弄清原因.上一页返回首页下一页再练一题4.在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明.上一页返回首页下一页【解】设分割成线段或射线的条数为f(n).则f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)n2(n2)，下面利用数学归纳法证明.(1)当n2时，显然成立.(2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，f(k)k2，则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1共k1条直线满足题设条件.不妨取出直线l1
13、，余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2条射线或线段.上一页返回首页下一页直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段.k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条.故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时，结论正确.由(1)(2)可知，上述结论对一切n2均成立.上一页返回首页下一页探究共研型对数学归纳法的理解探究1 应用数学归纳法时的常见问题有哪些？【提示】第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始
14、，有时需验证n2等.对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.上一页返回首页下一页“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.上一页返回首页下一页探究2 如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形.在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明.否则，就不是数学归纳法.上一页返回首页下一页探究3 为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？【提示】这是因为
15、第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础.假设nk成立，根据假设和合理推证，证明出nk1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n01成立，又证明了nk1也成立.这就一定有n2成立，n2成立，则n3也成立；n3成立，则n4也成立.如此反复，以至无穷.对所有nn0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.上一页返回首页下一页 用数学归纳法证明：114 119 1 116 1 1n2 n12n(n2，nN).【导学号：38000055】【精彩点拨】因n2，nN，第一步要验证n2.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)当n2时
16、，左边11434，右边212234，等式成立.(2)假设当nk(k2，kN)时，等式成立，即114 119 1 116 11k2 k12k(k2，kN).当nk1时，114 119 1 116 11k211k12 上一页返回首页下一页k12k k121k12 k1kk22kk12 k22k1k112k1.当nk1时，等式成立.根据(1)和(2)知，对n2，nN时，等式成立.上一页返回首页下一页用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，缺了第一步递推失去基础；缺了第二步递推失去了依据，因此无法递推下去.上一页返回首页下一页构建体系数学归纳法 归纳法 数学归
17、纳法 应用 证明恒等式 证明整除问题 证明几何问题上一页返回首页下一页1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n1层花盆总数分别是f(n)和f(n1)，则f(n)与f(n1)的关系为()A.f(n1)f(n)n1B.f(n1)f(n)nC.f(n1)f(n)2nD.f(n1)f(n)1【答案】A上一页返回首页下一页2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 12 n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A.1 B.2 C.3 D.0【解析】边数最少的凸n边形是三角形.【答案】C上一页返回首页下一页3.用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左
18、边需增加的代数式为()A.2k2B.2k1C.2kD.2k1上一页返回首页下一页【解析】等式“135(2n1)n2”中，当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.【答案】D上一页返回首页下一页4.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立.【解析】两个奇数之间相差2，nk2.【答案】k2上一页返回首页下一页5.证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1).【导学号：38000056】上一页返回首页下一页【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立.(2)假设nk(k1，kN)时，等式成立，就是 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1).当nk1时，上一页返回首页下一页12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2 k(2k1)(2k1)2(2k2)2 k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立.综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评 点击图标进入
