1、第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan；2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.sin2cos21sin cos tan 2.三角函数的诱导公式 公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin _余弦cos _正切tan _口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan 常用结论与易错提醒 1.特殊角的三角函数值 0643232
2、sin 0122232101cos 1322212010tan 03313不存在0不存在2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式 k2 中的整数 k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在 k2 中，将 看成锐角时 k2 所在的象限.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)sin()sin 成立的条件是 为锐角.()(2)六组诱导公式中的角 可以是任意角.()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指
3、函数名称的变化.()(4)若 sin(k)13(kZ)，则 sin 13.()解析(1)对于R，sin()sin 都成立.答案(1)(2)(3)(4)(4)当 k 为奇数时，sin 13，当 k 为偶数时，sin 13.2.sin 600的值为()A.12B.32C.12D.32解析 sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60 32.答案 B 3.已知 sin2 35，2，则 tan()A.34B.34C.43D.43解析 sin2 cos 35，又 2，则 sin 1cos245，则 tan sin cos 43，故选 C.答案 C 4.已知 sin
4、cos 43，0，4，则 sin cos 的值为()A.23B.23C.13D.13解析 sin cos 43，12sin cos 169，sin cos 718.又(sin cos)212sin cos 29，又0，4，sin cos 23.答案 B 5.(必修 4P22B3 改编)已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为_.解析 原式tan 1tan 121213.答案 3 6.设a为常数，且a1，0 x2，则当x_时，函数f(x)cos2x2asin x1的最大值为_.解析 f(x)cos2x2asin x11sin2x2asin x1(sin xa)2a2，因为0 x
5、2，所以1sin x1，又因为 a1，所以当 sin x1，即 x2时，f(x)max(1a)2a22a1.答案 2 2a1考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例 1】(1)(2020浙江教育绿色评价联盟适考)已知 为第二象限角，且 3sin cos 0，则 sin()A.1010B.3 1010C.1010D.3 1010(2)已知 sin cos 18，且54 32，则 cos sin 的值为()A.32B.32C.34D.34(3)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425B.4825C.1 D.1625解析(1)由 3sin cos，两边平方得 9sin21sin2，
6、则 sin 1010，又 为第二角限角，所以 sin 0，则 sin 1010，故选 A.(2)54 32，cos 0，sin sin，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.(3)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin2 14tan 1tan2 6425.答案(1)A(2)B(3)A 规律方法(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个
7、式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练 1】(1)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan()A.1 B.22C.22D.1(2)若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为()A.103B.53C.23D.2(3)已知 sin 13，0，则 tan _，sin 2cos 2_.解析(1)由sin cos 2，sin2cos21，得：2cos22 2cos 10，即2cos 120，cos 22.又(0，)，34，tan tan 34 1.(2)3s
8、in cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.(3)因为 0，所以 tan sin cos sin2cos2sin21sin2 24，又 022，所 以 sin 2 0，cos 2 0，所 以 sin 2 cos 2 sin 2cos 22 12sin 2cos 2 1sin 2 33.答案(1)A(2)A(3)24 2 33考点二 诱导公式的应用【例2】(1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)设 f()2sin（）cos（）co
9、s（）1sin2cos32 sin22(12sin 0)，求 f236 的值.解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30 32 32 12121.(2)f()（2sin）（cos）cos 1sin2sin cos22sin cos cos 2sin2sin cos（12sin）
10、sin（12sin）1tan，f236 1tan2361tan46 1tan6 3.规律方法(1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos.【训练 2】(1)已知 Asin（k）sin cos（k）cos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A.1，1，2，2 B.1，1C.2，2 D.1，1，0，2，2(2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（）sin（）_.解析(1)
11、当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2；k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.(2)原式tan cos（cos）cos（）sin（）tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.答案(1)C(2)1 考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例 3】(1)已知 tan6 33，则 tan56 _.(2)已知 cos512 13，且2，则 cos12()A.2 23B.13C.13D.2 23(3)若 1sin 1cos 3，则 sin cos()A.13B.13C.13或 1 D.13或1解析(1)56 6，tan56 tan6
12、 tan6 33.(2)因为512 12 2，所以 cos12 sin212 sin512.因为2，所以7125120，所以2512 12，所以 sin512 1cos2512 11322 23.(3)由已知得 sin cos 3sin cos，12sin cos 3sin2cos2，(sin cos 1)(3sin cos 1)0，sin cos 12sin 212，sin cos 13.答案(1)33 (2)D(3)A规律方法(1)常见的互余的角：3 与6；3 与6；4 与4 等.(2)常见的互补的角：3 与23；4 与34 等.【训练 3】(1)已知 sin3 12，则 cos6 _.(
13、2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0 x 时，f(x)0，则 f236()A.12B.32C.0 D.12(3)(2016上海卷)设 aR，b0，2.若对任意实数 x 都有 sin3x3 sin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)3 6 2，cos6 cos23 sin3 12.(2)由 f(x)f(x)sin x，得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以 f236 f116 2 f116 f56 f56 sin56.因为当 0 x 时，f(x)0.所以 f236 01212.(3)sin 3x3 sin 3x32 sin 3x53，(a，b)3，53，又 sin 3x3 sin3x3 sin3x43，(a，b)3，43，注意到 b0，2，只有这两组.故选 B.答案(1)12(2)A(3)B
