1、第四节 变量间的相关关系第四节 变量间的相关关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1变量间的相关关系：常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性函数关系，另一类是_；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系2回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 相关关系3散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图4如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线5回归方程(1)直线方程yabx，叫做 y对 x的_，a、b叫做_要确定回归直线方程，只需确
2、定回归系数a、b.(2)用最小二乘法求回归直线系数a、b有下面的公式：回归直线方程回归系数1221niiiniix ynx ybxnx，a y b x.其中a，b是由观察值按最小二乘法求得的_，也叫_.估计值回归系数课前热身 答案：185.031人的身高与手的拃长存在相关关系，且满足y0.303x31.264(x 为身高，y 为拃长，单位：cm)，则 当 拃 长 为 24.8 cm 时，身 高 为_cm.2(2011年扬州调研)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是_答案：y74x2343某单位为了了解用电量y(度)与气温x()之
3、间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()18 13 10 1 用电量(度)24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程为ybxa中的b2，则预测当气温为4 时，用电量的度数约为_答案：684某考察团对全国十大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查，结果表明 y 与 x 具有相关关系，回归方程为y0.66x1.562，若某城市居民人均消费水平为 7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为_答案：83%考点探究挑战高考 利用散点图判断两个变量的相关性 考点突破 在散点图中，如果所有的样本点都落在某一函数的
4、曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，变量之间就有相关关系如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：例1施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？【思路分析】画出散点图判断【解】(1)散点图如图：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化
5、时,水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长【名师点评】散点图是将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点得到的图形，它直观地反映了两个变量之间存在的某种关系和密切程度，所以它可以判断两个变量间是否具有相关关系，是什么样的相关关系等求回归直线方程 求线性回归方程的步骤为：(1)列表 xi，yi，xiyi；(2)计算 x，y，i1nx2i，i1ny2i，i1nxiyi；(3)代入公式计算 b，a 的值；(4)写出回归方程已知一个样本数据的对应值如下表：求其回归方程例2x 18 25 30 3
6、9 41 42 49 52 y 3 5 6 7 8 8 9 10【思路分析】回归方程的求法步骤是：作散点图分别计算 x，y，i1nx2i，i1nxiyi，根据公式求a，b，(其中bi1nxiyin x yi1nx2i n x2，a y b x)写出回归直线方程ybxa.【解】作出散点图如图所示：由散点图可以看出 x与 y具有线性相关关系根据公式求得a0.07，b0.19.所以所求回归方程为y0.19x0.07.【名师点评】从本题可以看出，求回归直线方程，关键在于正确求出系数a，b，由于计算量较大，所以计算时要仔细、谨慎，分步进行，避免因计算而失误特别注意，只有在散点图大体呈线性相关时，求出的回
7、归直线方程才有意义利用回归方程对总体进行估计 利用回归直线方程可以估计总体，回归直线方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用某种产品的宣传费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大?例3x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70【思路分析】画散点图 最小二乘法求线性回归方程结合方程进行回归分析【解】(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：(2)计算得：x 255 5，y 2505
8、 50，i15x2i 145，i15xiyi1380.于是可得51522155iiiiix yxybxx138055501455526.5，a yb x506.5517.5，因此，所求回归直线方程是y6.5x17.5.(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为 10 万元时，y6.51017.582.5(万元)，即这种产品的销售额大约为 82.5 万元【名师点评】通过散点图检验两个变量是否具有线性相关关系后，再求回归直线方程从散点图能看出它们有较好的线性相关关系变式训练 某肉食鸡养殖小区某种病的发病鸡只数呈上升趋势，统计近4个月这种病的新发病鸡只数的线性回归分析如下表所示：月份(xi)
9、该月新发病鸡只数(yi)5 2400 6 2491 7 2586 8 2684 x 6.5，y 2540.25，bi14xiyi4 x yi14x2i 4x 294.7，ayb x1924.7如果不加以控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从9月初到12月底的4个月时间里，该养殖小区这种病的新发病鸡总只数约为_.解析：由上表可得：y94.7x1924.7，当 x 分别取 9,10,11,12 时，得估计值分别为：2777,2871.7,2966.4,3061.1，则总只数约为 27772871.72966.43061.111676.答案：11676方法感悟 方法技巧1对线性相关关系的理解：相关关系
10、与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系例如正方形面积S与边长x之间的关系Sx2就是函数关系相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系例如商品的销售额与广告费之间是相关关系两个变量具有相关关系是回归分析的前提2注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同3回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程失误防范1回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有
11、在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则,求出的回归直线方程毫无意义2根据回归方程进行预报，仅是一个预报值,而不是真实发生的值考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考试题来看，高考对此部分的考查较小，主要考查对基本概念的理解近两年江苏高考对此未有考查，要求较低，层次为A级，但也要注意对基本知识的掌握预测2012年的江苏高考，散点图与相关关系仍是考查的重点，同时应注意线性回归方程在实际生活中的运用规范解答 例(本题满分14分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2 3 4 5 加工的时间y(小时)2.5
12、3 4 4.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工 10 个零件需要多少时间？注：1221niiiniix ynx ybxnx，ayb x【解】(1)散点图如图：3分(2)由表中数据得：41iiix y52.5，x 3.5，y 3.5，421iix54.5 分1221niiiniix ynx ybxnx0.7，7 分 a yb x1.05，y0.7x1.05.10 分回归直线如图中所示.11 分(3)将 x10 代入回归直线方程，得 y0.7101.058.05(小时)预测加工 10 个零件需要
13、 8.05 小时.14 分【名师点评】本题易失误的是：画散点图，是计算与，回归直线不是过所有点的直线ba名师预测 1.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉_组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远所以应填D.答案：D2假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的维修费用(万元)有如下统计资料：x(年)2 3 4 5 6 y(万元)2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知，它们之间呈线性相关关系，且有如下参考数据：5521190,112.3,iiiiixx y则直线回归方程为_答案：y1.23x0.083设有一个回归直线方程为y35x，变量 x增加一个单位时，y 平均_单位答案：减少5个4下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x的回归方程ybxa必过点_.x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 解析：ybxa过(x，y)点，又 x0123432，y135744，过点(32，4)答案：(32，4)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用