1、本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(ABMB)(BO BC)OM 化简后等于()ABCBABCACDAM解析 原式ABBO OM MB BCAC.解析 答案 C答案 2设点 A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且AD 2AB3BC，则点 D 的坐标为()A(2,16)B(2，16)C(4,16)D(2,0)解析 设 D(x，y)，由题意可知AD(x1，y2)，AB(3,1)，BC(1，4)，所
2、以 2AB3BC2(3,1)3(1，4)(3,14)，所以x13，y214，所以x2，y16.解析 答案 A答案 3若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6B5 C4D3解析 a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.解析 答案 C答案 4设非零向量 a，b，c 满足|a|b|c|，abc，则向量 a，b 的夹角为()A150B120 C60D30解析 设向量 a，b 的夹角为，则|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos，则 cos12.又 0，180，
3、所以 120.解析 答案 B答案 5在ABC 中，已知 b2bc2c20，a 6，cosA78，则ABC 的面积 S 为()A 152B 15C8 155D6 3答案 A答案 解析 由 b2bc2c20 可得(bc)(b2c)0.b2c，在ABC 中，a2b2c22bccosA，即 64c2c24c278.c2，从而 b4.SABC12bcsinA12421782 152.解析 6向量BA(4，3)，向量BC(2，4)，则ABC 的形状为()A等腰非直角三角形B等边三角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形解析 BA(4，3)，BC(2，4)，ACBCBA(2，1)，CACB(2,1)(2,4)
4、0，C90，且|CA|5，|CB|2 5，|CA|CB|.ABC 是直角非等腰三角形解析 答案 C答案 7在ABC 中，若|AB|1，|AC|3，|ABAC|BC|，则ABBC|BC|()A 32B12C12D 32答案 B答案 解析 由向量的平行四边形法则，知当|ABAC|BC|时，A90.又|AB|1，|AC|3，故B60，C30，|BC|2，所以ABBC|BC|AB|BC|cos120|BC|12.解析 8.如图，已知等腰梯形 ABCD 中，AB2DC4，ADBC 5，E 是 DC的中点，点 P 在线段 BC 上运动(包含端点)，则EPBP的最小值是()A95B0 C45D1答案 A答案
5、 解析 由四边形 ABCD 是等腰梯形可知 cosB 55.设 BPx(0 x 5)，则 CP 5x.所以EPBP(ECCP)BPECBPCPBP1x 55(5x)x(1)x26 55 x.因为 0 x 5，所以当 x3 55 时，EPBP取得最小值95.故选 A解析 9甲船在湖中 B 岛的正南 A 处，AB3 km，甲船以 8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从 B 岛出发，以 12 km/h 的速度向北偏东 60方向驶去，则行驶 15 分钟时，两船的距离是()A 7 kmB 13 kmC 19 kmD103 3 km答案 B答案 解析 如图，设行驶 15 分钟时，甲船到达 M 处，
6、由题意，知 AM815602，BN1215603，MBABAM321，所以由余弦定理，得 MN2MB2BN22MBBNcos1201921312 13，所以 MN 13(km)解析 10设向量 a 与 b 的夹角为，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若 a(3，1)，b(1，3)，则|ab|()A 3B2 C2 3D4解析 cos ab|a|b|3 322 32，sin12，|ab|22122.解析 答案 B答案 11设 00，点 P 在线段 AB 上，且APtAB(0t1)，则OA OP 的最大值为()AaB2aC3aDa2答案 D答案 解析 A
7、BOB OA(0，a)(a,0)(a，a)，APtAB(at，at)又OP OA AP(a,0)(at，at)(aat，at)，OA OP a(aat)0ata2(1t)(0t1)当 t0 时，OA OP 取得最大值，为 a2.解析 第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上)13设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a的坐标为_解析 设 a(x，y)，x0，y0，则 x2y0 且 x2y220，解得 x4，y2.即 a(4，2)解析 答案(4，2)答案 14在ABC 中，角 A，B
8、，C 所对的边分别为 a，b，c，若ABACBABC1，那么 c_.解析 由题知，ABACBABC2，即ABACABBCAB(ACCB)AB 22c|AB|2.解析 答案 2答案 15如图，在正方形 ABCD 中，已知|AB|2，若 N 为正方形内(含边界)任意一点，则ABAN的最大值是_答案 4答案 解析 ABAN|AB|AN|cosBAN，|AN|cosBAN 表示AN在AB方向上的投影，又|AB|2，ABAN的最大值是 4.解析 16若等边三角形 ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满足CM 16CB23CA，则MA MB _.答案 2答案 解析 以 AB 所在的直线为 x 轴，A
9、B 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A，B，C 三点的坐标分别为(3，0)，(3，0)，(0,3)设 M 点的坐标为(x，y)，则CM(x，y3)，CB(3，3)，CA(3，3)，又CM 16CB23CA，即(x，y3)32，52，可得 M 32，12，所以MA 32，12，MB 3 32，12，所以MA MB 2.解析 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 bsinBasinA(ca)sinC(1)求 B；(2)若 3sinC2si
10、nA，且ABC 的面积为 6 3，求 b.解(1)由 bsinBasinA(ca)sinC 及正弦定理，得 b2a2(ca)c，即 a2c2b2ac.由余弦定理，得 cosBa2c2b22ac ac2ac12.因为 B(0，)，所以 B3.答案 (2)由(1)得 B3，所以ABC 的面积为12acsinB 34 ac6 3，得 ac24.由 3sinC2sinA 及正弦定理，得 3c2a，所以 a6，c4.由余弦定理，得 b2a2c22accosB36162428，所以 b2 7.答案 18(本小题满分 12 分)如图，平行四边形 ABCD 中，ABa，AD b，H，M 分别是 AD，DC 的
11、中点，F 为 BC 上一点，且 BF13BC(1)以 a，b 为基底表示向量AM 与HF；(2)若|a|3，|b|4，a 与 b 的夹角为 120，求AM HF.解(1)由已知，得AM AD DM 12ab.连接 AF，AFABBFa13b，HF HA AF12ba13b a16b.(2)由已知，得 ab|a|b|cos1203412 6，从而AM HF 12ab a16b 12|a|21112ab16|b|212321112(6)1642113.答案 19(本小题满分 12 分)如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上一点，且OPxOA yOB.(1)若APPB，求 x，y 的值；(2)若A
12、P3PB，|OA|4，|OB|2，且OA 与OB 的夹角为 60，求OP AB的值解(1)若APPB，则OP 12OA 12OB，故 xy12.(2)若AP3PB，则OP OA 34ABOA 34(OB OA)14OA 34OB，答案 OP AB14OA 34OB(OB OA)14OA 212OA OB 34OB 214421242cos6034223.答案 20(本小题满分 12 分)已知向量 m3sinx4，1，ncosx4，cos2x4，函数 f(x)mn.(1)若 f(x)1，求 cos23 x 的值；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC12
13、cb，求 f(B)的取值范围解 由题意，得 f(x)3sinx4cosx4cos2x4 32 sinx212cosx212sinx26 12.(1)由 f(x)1，得 sinx26 12，则 cos23 x 2cos23x2 12sin2x26 112.答案 (2)已知 acosC12cb，由余弦定理，得aa2b2c22ab12cb，即 b2c2a2bc，则 cosAb2c2a22bc12，又因为 A 为三角形的内角，所以 A3，答案 从而 BC23，易知 0B23，0B23，则6B262，所以 1sinB26 120)(1)求 a 与 b 的数量积用 k 表示的解析式 f(k)；(2)a 能
14、否和 b 垂直？a 能否和 b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的 k 值；(3)求 a 与 b 夹角的最大值解(1)由已知|a|b|1.|kab|3|akb|，(kab)23(akb)2，k2|a|22kab|b|23(|a|22kabk2|b|2)，8kab2k22，f(k)abk214k(k0)(2)abf(k)0，a 与 b 不可能垂直若 ab，由 ab0 知 a，b 同向，于是有 ab|a|b|cos0|a|b|1，即k214k 1，解得 k2 3.当 k2 3时，ab.答案 (3)设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|abk214k(k0)，cos14k1k14k 21k2 14k 1k22，当 k 1k即 k1 时，cos 取到最小值为12.又 0180，a 与 b 夹角 的最大值为 60.答案
