1、第1节 不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式 知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0a_b，ab0ab，ab0a_b；(2)作商法ab1a_b（aR，b0），ab1ab（aR，b0），ab1a_b（aR，b0）.2.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abac_bc；ab，cdac_ bd；(4)
2、可乘性：ab，c0ac_ bc；ab0，cd0ac_ bd；(5)可乘方：ab0an_ bn(nN，n1)；(6)可开方：ab0n a_n b(nN，n2).3.三个“二次”间的关系 判别式b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2 b2a没有实数根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1x|x b2aRx|x1xx2 常用结论与易错提醒 1.倒数性质(1)ab，ab01a1b.(2)a0b1a1b.2.有关分数的性质 若ab0，m0，则(1)真分数
3、的性质 babmam；babmam(am0).(2)假分数的性质 abambm；abambm(bm0).3.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.4.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，abac2bc2.(3)若方程ax2bxc
4、0(a0的解集为.(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)2.若ab0，cd0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd解析 因为 cd0，所以 01c1d，两边同乘1 得1d1c0，又 ab0，故由不等式的性质可知adbc0.两边同乘1 得adbc.故选 B.答案 B 3.当 x0 时，若不等式 x2ax10 恒成立，则 a 的最小值为()A.2 B.3C.1 D.32解析 当 a240，即2a2 时，不等式 x2ax10 对任意 x0 恒成立，当 a240，则需a240，a20，解得 a2，所以使不等式 x2ax10 对任
5、意 x0 恒成立的实数 a 的最小值是2.答案 A 4.(2017上海卷)不等式x1x 1 的解集为_.解析 11x11x0 x0 的解集为12，13，则 a_，b_.解析 由题意知方程 ax2bx20 的两根为 x112，x213，则1213ba，12132a，解得a12，b2.答案 12 2 6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_.解析 由题意知(m1)24m0.即m26m10，解得 m32 2或 m32 2.答案(，32 2)(32 2，)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】(1)已知实数a，b，c满足bc64
6、a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()A.cbaB.acb C.cbaD.acb(2)已知非负实数a，b，c满足abc1，则(ca)(cb)的取值范围为_.解析(1)cb44aa2(2a)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1a122340，ba，cba.(2)因为 a，b，c 为非负实数，且 abc1，则 ab1c，0c1，故|(ca)(cb)|ca|cb|1，即1(ca)(cb)1；又(ca)(cb)c2(1c)cab2c1421818.综上，有18(ca)(cb)1.答案(1)A(2)18，1规律方法(1)比较大小常用的方法：作差法；作商法；
7、函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练 1】(1)已知 pa 1a2，q12x22，其中 a2，xR，则 p，q 的大小关系是()A.pqB.pqC.p2，故 pa 1a2(a2)1a22224，当且仅当 a3时取等号.因为 x222，所以 q12x221224，当且仅当 x0 时取等号，所以 pq.(2)令 a2，b12，则 a1b4，b2a18，log2(ab)log252(1，2)，则 b2alog2(ab)a1b.答案(1)A(2)B 考点二 一元二次不等式的解法 角度1 不含参的不等式【例21】求不等式2x2
8、x30的解集.解 化2x2x30，解方程 2x2x30 得 x11，x232，多维探究不等式 2x2x30 的解集为(，1)32，即原不等式的解集为(，1)32，.角度2 含参不等式【例22】解关于x的不等式ax222xax(aR).解 原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a或 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a或 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0.当2a1，即 a2 时，解得1x2a；当2a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意；当2a1，即2a0，解得2
9、ax1.综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x2a，或x1；当2a0 时，不等式的解集为x2ax1；当a2时，不等式的解集为1；当 a2 时，不等式的解集为x|1x2a.规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.【训练2】(1)(角度
10、1)(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_.(2)已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab()A.3B.1 C.1D.3 解析(1)3x2x20 变形为(x1)(3x2)0，解得1x23，故使不等式成立的 x的取值范围为1，23.(2)由题意得Ax|1x3，Bx|3x2，所以ABx|1x2，由题意知1，2为方程x2axb0的两根，由根与系数的关系可知a1，b2，则ab3.答案(1)1，23 (2)A考点三 一元二次不等式的恒成立问题 角度1 在R上恒成立【例 31】若一元二次不等式 2kx2kx380 对
11、一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为()A.(3，0 B.3，0)C.3，0 D.(3，0)多维探究解析 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则必有2k0，k242k38 0，解之得3k0.答案 D 角度2 在给定区间上恒成立【例32】(一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_.解析 要使f(x)m5在1，3上恒成立，则mx2mxm60，即 mx12234m60 在 x1，3上恒成立.有以下两种方法：法一 令 g(x)mx12234m6，x1，3.当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.
12、所以 m67，则 0m67.当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，m 的取值范围是m0m67或m0.法二 因为 x2x1x122340，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m67即可.因为 m0，所以 m 的取值范围是m|0m67或m0.答案 m|0m67或m0角度3 给定参数范围的恒成立问题【例33】已知a1，1时，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)(3，)B.(，1)(2，)C.(，1)(3，)D.(1，3)解
13、析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，所以f(1)x25x60，且 f(1)x23x20 即可，解不等式组x25x60，x23x20，得 x1 或 x3.答案 C 规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)一元二次不等式f(x)0在xa，b上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数ma，b恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数.【训练3】(1)(角度1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A.1，4B.(，25，)C.(，14，)D.2，5(2)(角度2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析(1)由于x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)二次函数f(x)对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则f（m）m2m210，f（m1）（m1）2m（m1）10，解得 22 m0.答案(1)A(2)22，0
