1、北京学科专家组 安振平审定高二数学测试题空间角和距离（7）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、为异面直线，二面角，如果二面角的平面角为，则，所成的角为（ ）A B C或 D2在空间，如果、表示直线与平面，“若，则”成立，那么，所分别表示的元素正确的是（ ）A，都是直线 B ，都是平面C，为平面，为直线 D 为直线，为平面3一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是（ ）A相等B互补 C相等或互补D不能确定4二面角MlN的平面角是60，直线a平面M，a与棱l所成的角是30，则a与平面N所成的
2、角的余弦值是（ ）A B C D5. 正三棱柱ABCA1B1C中，D是AB的中点，CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离为（ ）A B1 C D6在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60和 45，则异面直线 B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）A B C D7二面角-l-的棱l上有一点P，射线PA在内，且与棱l成45角，与面成30角则二面角-l-的大小为（ ）A30或150 B45或135C60或120 D908一条直线与平面a成60角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是（ ）A0，90 B C60，180D60，909球面上A、B两点的球面距离是
3、，过这两点的半径的夹角是60，则这个球的体积为（ ）A48 B36 C24 D1810已知A（1，1，1），B（1，0 ，4），C（2 ，2，3），则，的大小为（ ）A B C D11如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD = 2AB = 4，EFBA，则EF与CD所成角为 （ ）A900 B450 C600 D3012由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体。正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的k个锐角，k的数值是（ ）A7 B6 C5 D4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥
4、的高，若圆锥的侧面积被球与圆锥侧面的交线所平分，则圆锥母线与底面所成角的大小为_.14 一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两端点的距离等于.15如图，将两邻边长分别为a、b 的矩形，按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱锥，则的取值范围是 . 16把地球看作半径为R的球，A、B是北纬a度圈上的两点，它们的经度差为b，则A、B两点间的球面距离为_.三、解答题（共计74分）17（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，AB=3a，BC=CD=a将BCD沿BD折起，使得C到C，且C-BD-A为60的二面角，求A、C的距离18（本小
5、题满分12分）若平面内的直角ABC的斜边AB=20，平面外一点P到A,B,C,三点距离都是25,求点P到平面的距离19（本小题满分12分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC中点。在直线CC1上求一点N，使MNAB120（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD，A1AB=A1AD=BAD（）求证：平面B1D1DB平面A1C1CA；（）当A1B1=，且直线A1A到平面B1D1DB的距离为1时，求BAD的大小.21（本小题满分12分）三棱锥PABC中，PA=PB，CB面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，AN=3N
6、B（I）求证：MNAB； (II) 当APB=90，BC=2，AB=4时，求MN的长22. （本题满分14分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；（II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；（III）求二面角NEFM的平面角的正切值.高二下学期数学参考答案（7）一 选择题 1C 2D 3D 4C 5B 6A 7B 8D 9B 10D 11D 12C4解: 设E、F，过P作交N于Q，连FQ，则是二面角MlN的平面角，=60，是PE与平面N所成的角。设EP=4，则PF=2，PQ=，
7、cos=12. 解： 正四面体表面正三角形的中线所成角的余弦值有五种二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13.45 14. 15. 2ba 16. 2Rarcsin(cosasinb/2)14解 如图，直角三角形ABC中，CD是AB上的中线，E、F分别在CD和CD的延长线上，AE，则EF=1，AE=BF=。以CD为折痕折为直二面角后，AB距离=。 A D F E C B 三、解答题（共计74分）17. 解：过D作DEAB于E，则BCDE为正方形，CE与BD交于O，则CEBD故COE为二面角C-BD-A的平面角所以COE=60，18解：由斜线相等，射影相等知，P在底面的射影为ABC
8、的外心O，又ABC为Rt，外心在斜边中点，故PO=19解：方法1：如图AB1=AB+BB1，MN=BC+CNAB1MN=(AB+BB1) (BC+CN)=AB(BC)+ABCN+BB1 (BC)+BB1CN=11()+0+0+2|CN|=0 |CN|=方法2：坐标计算法 AB1 =(,2) M(,0) N(1,0,Z)MN=(,Z)由A1S1MN=0 得 Z=AC所在直线的x轴AA1所在直线为y轴A为原点方法3：AB1在面BCC1B1的射影为B1M，故之需B1MMN，设CN=x. 则有 B1M= MN=, B1N=由勾股定理x=20解：(）如图，因A1AB=A1AD，A1A=A1A，AB=AD
9、，故A1ABA1AD于是，A1B=A1D故BDA1O.又AB=AD，故BDAC又A1OAC=O，故BD面A1C1CA于是，面B1D1DB面A1C1CA（6分）（）作A1FOO1于F，则A1F面B1D1DB故A1F=1.（8分）过F作MNBD，分别交BB1、DD1于M、N，显然DD1面A1MN，故DD1A1N.设BAD=，则A1N=sin，FN=OD=sin.（10分）在RtA1FN中，由勾股定理得（sin）2-（sin）2=1，即2cos=cos.又cos0，故cos=，=60.也就是BAD=60（12分）21解：设22. （满分14分）解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标
10、向量建立空间直角坐标系Axyz，则有E（，0，1，），F（1，0），M（，1，1），N（1，1）.（2分）（1）EF=（，-1），MN=（，-，0），EFMN=（，-1）（，-，0）=-+0=0.EFMN，即直线EF与MN的夹角为90.（6分）（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），FNMN=0，FNMN.EFFN=F，MN平面ENF.又MN平面MNF，平面MNF平面ENF.（8分）（3）在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MGEF.MGN为二面角NEFM的平面角.（12分）在RtNEF中，NG=.在RtMNG中，tanMGN=.二面角MEFN的平面角的正切值为.（14分）审定意见：试题整体质量较高，对试题中的个别题号、标点符号进行了修改。审稿人：安振平