1、第五节 椭 圆第五节 椭 圆 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1椭圆的定义(1)平面内一点P与两定点F1、F2的距离的和等于 常 数(大 于 F1F2)的 点 的 轨 迹，即_.若常数等于F1F2，则轨迹是_.若常数小于F1F2，则轨迹_ 注意：一定要注意椭圆定义中限制条件“大于F1F2”是否满足PF1PF22aF1F2线段F1F2不存在(2)平面内点 M 与定点 F 的距离和它到定直线l 的距离 d 的比是常数 e(0e1)的点的轨迹，即_.定点 F 为椭圆的_，定直线 l 为椭圆的_焦点该焦点对应的准线MFd e2椭圆中的几何量(1)长轴
2、A1A2_，短轴 B1B2_，焦距 F1F2_，且满足_.(2)离心率：e_(0eF1F2)M|MF1d1 MF2d2 e(0eb0)x2b2y2a21(ab0)条件M|MF1MF22a，(2aF1F2)M|MF1d1 MF2d2 e(0eF1F2)M|MF1d1 MF2d2 e(0eF1F2)M|MF1d1 MF2d2 e(0e0)，c2a2b2条件M|MF1MF22a，(2aF1F2)M|MF1d1 MF2d2 e(0e1)离心率_通径2b2aeca(0eb0，即此方程中a2，b2与标准方程中a2，b2的意义不同1若椭圆的两焦点为(2,0)，(2,0)，且该椭圆过点(52，32)，则该椭圆
3、的方程是_课前热身答案：y26x21012(2011 年常州调研)若方程 x25k y2k31 表示椭圆，则 k 的取值范围是_3椭圆x2my2151 的焦距等于 2，则 m 的值是_答案：(3,4)(4,5)答案：16或144椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是_答案：10,6，45考点探究挑战高考 考点突破 椭圆的定义及标准方程 椭圆标准方程的求法(1)定义法；(2)待定系数法若已知焦点的位置可惟一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为 Ax2By21，其中 A，B 为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系(如x2a2y2b
4、2，0)来求解，以避免讨论和繁琐的计算例1(1)求两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且经过点(32，52)的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，求椭圆的方程；(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1(6，1)，P2(3，2)，求椭圆的方程【思路分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的 a，b 即可若判断不出焦点在哪个坐标轴上，可采用标准方程的统一形式：Ax2By21(A0，B0，且 AB)或x2my2n1(m0，n0，且 mn)【解】(1)椭圆的焦点在 y 轴上，设它
5、的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义可知2a322522232252222 10.a 10.又 c2，所以 b2a2c21046.所求椭圆的标准方程为y210 x26 1.(2)若焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)椭圆过点 P(3,0)，32a202b21，a3.又 2a32b，b1.此时椭圆的方程为x29 y21.若焦点在 y 轴上，设椭圆的方程为y2a2x2b21(ab0)椭圆过点 P(3,0)，02a232b21，b3.又 2a32b，a9.此时椭圆的方程为y281x29 1.综上可知，所求椭圆的方程为x29 y21 或y281x29 1.(3)
6、设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn)椭圆经过 P1、P2 点，P1、P2 点的坐标适合椭圆方程，则6mn1，3m2n1，解得m19，n13.所求椭圆的方程为x29 y23 1.【名师点评】求椭圆的标准方程，一是明确椭圆的标准方程类型，二是a2，b2，c2三个量的有关条件转化为计算结果要联系题目叙述的图形，善于观察图形找条件主要问题有两类，一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，另一类根据椭圆几何性质，综合其他知识求椭圆方程或者研究其他问题椭圆的几何性质及应用 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与
7、椭圆的短轴长有关例2【思路分析】(1)利用F1PF2 中边角关系结合椭圆定义转化为寻找 a，c 的关系；(2)利用 S12 PF1 PF2 sin60，证明用 b 表示 S.【解】(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，PF1 m，PF2 n.在PF1F2 中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos60.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn，4c24a23mn，即 3mn4a24c2.又 mn(mn2)2a2(当且仅当 mn 时取等号)，4a24c23a2，c2a214，即 e12，e 的取值范围是12，1)(2)证明：由(1)知 mn43b2，SF1PF212mnsin
8、60 33 b2，即PF1F2 的面积只与短轴长有关【名师点评】(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF1 PF2 2a，得到 a、c 的关系(2)对F1PF2 的处理方法 定义式的平方余弦定理面积公式 PF1 PF2 22a2，4c2 PF12 PF222 PF1 PF2 cos，S12 PF1 PF2 sin.变式训练 1(2010 年高考四川卷改编)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是_解析
9、：设 P(x0，y0)，则 PF aex0.又点 F 在AP 的垂直平分线上，aex0a2c c，因此x0aaca2c2c2.又ax0a，aaaca2c2c2a.1e2e1e21.又 0e1，12e1.答案：12，1)(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础本类问题中主要是直线与椭圆相交的问题，可以分为两类：直线过椭圆焦点；直线不过椭圆焦点直线与椭圆的综合问题 如图，已知椭圆 C：x25 y23m22(m0)，经
10、过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 C于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，设 O 为椭圆的中心，射线 OM 交椭圆于 N 点(1)是否存在 k，使对任意 m0，总有OA OB ON 成立？若存在，求出所有 k 的值(2)若OA OB 12(m34m)，求实数 k 的取值范围例3【思路分析】第(1)问为存在性问题，可先假设存在，然后由OA OB ON 可知 M 为ON 的中点，用坐标表示相关量可求第(2)问用坐标表示向量的数量积，列式求解即可【解】(1)椭圆 C：x25m22 y23m221，c25m22 3m22 m2，cm，F(m,0)，直线 AB 的方
11、程为 yk(xm)由ykxm，x25 y23 m22 m0，消去 y 得(10k26)x220k2mx10k2m215m20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 20k2m10k26，x1x210k2m215m210k26，则 xMx1x22 10k2m10k26，yMk(xMm)6km10k26.若存在 k，使OA OB ON 总成立，M 为线段 AB的中点，M 为 ON 的中点，OA OB 2OM.OA OB(2xM,2yM)(20k2m10k26，12km10k26)，即 N 点的坐标为(20k2m10k26，12km10k26)由 N 点在椭圆上，则15(20k2m10
12、k26)213(12km10k26)2m22，即 5k42k230，k21 或 k235(舍去)故存在 k1，使对任意 m0，总有OA OB ON 成立(2)OA OB x1x2y1y2x1x2k2(x1m)(x2m)(1k2)x1x2k2m(x1x2)k2m2(1 k2)10k2m215m210k26 k2m 20k2m10k26 k2m2k215m210k26.由k215m210k26 12(m34m)，得 k21510k2612(m4m)2.即 k21520k212，k217，77 k 77 且 k0.【名师点评】直线与椭圆相交往往是联立方程组，利用根与系数的关系等知识，但某些条件的转化
13、应用往往是解题的突破口和关键，如本题中向量数量积的应用，这就要求解题过程中对条件的分析要准确，与其他知识点的转化要熟练互动探究2 本例条件不变，k取何值时使以线段AB为直径的圆过原点O.解：由例题解答知OA OB k215m210k26，(*)线段 AB 为圆的直径，OAOB，即OA OB 0，*式0，k2150，k 15.方法技巧1椭圆的定义有两种形式，习惯上称为第一定义和第二定义在第一定义中，描述椭圆为“到两定点的距离之和等于定长的点的集合(轨迹)”，其中限制条件为“两定点间距离小于定长”，这个定义中的条件是常考内容；在第二定义中，描述椭圆为“到定点和定直线的距离之比等于常数e(0eb0，
14、eca等)及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题若已知焦点在 x 轴或 y 轴上，则标准方程惟一；若无法确定焦点位置，则需考虑两种形式3求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、再定型、后定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2my2n1(m0，n0 且 mn)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 Ax2By21(A0，B0 且 AB)，这种形式在解题中非常简便4熟练掌握常用基本方法的同时，注意体会解题过程，并优化解题思维，特别是化简的过程需仔细揣摩失误防范1在椭圆类型不确定时，忘记讨论焦点在x轴和y轴上两种形式2直线与椭圆相交，联立方程后，判
15、别式0，此条件易漏掉3椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，应用时，错记为a、b.考向瞭望把脉高考 考情分析 对近几年江苏高考试题的分析可以看出，对椭圆的考查，填空题、解答题的形式均可能出现，与椭圆有关的解答题通常是数学高考的难题 预测2012年江苏高考椭圆的考查仍会为热点，考查椭圆方程、性质等综合应用规范解答(本题满分 14分)(2010 年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x29 y251 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F.设过点 T(t，m)的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中 m0，y10，y20.例(1)设动点 P 满
16、足 PF2PB24，求点 P 的轨迹；(2)设 x12，x213，求点 T 的坐标；(3)设 t9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)【解】由题设得 A(3,0)，B(3,0)，F(2,0)(1)设点 P(x，y)，则 PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.2 分由 PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得 x92.故所求点 P 的轨迹为直线 x92.4 分(2)由 x12，x219 y2151 及 y10，得 y153，则点 M(2，53)，从而直线 AM 的方程为 y13x1；由 x213，x229 y2251 及 y20，得 m2 10，
17、此时直线 MN 的方程为 x1，过点 D(1,0)12 分若 x1x2，则 m2 10，直线 MD 的斜率 kMD40m80m22403m280m2 1 10m40m2，直线 ND 的斜率 kND20m20m23m26020m2 1 10m40m2，得 kMDkND，所以直线 MN过 D 点因此，直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0).14 分【名师点评】本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识要求我们平时多加训练运算求解及探究问题的综合能力1已知椭圆 C 的离心率 e 32，且它的焦点与双曲线 x22y24 的焦点重合，则椭圆 C 的方程为_名师预测解析：可知双曲线的右
18、焦点为(6，0)，而椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，所以 6a 32，a2 2，从而得 b 2，所以椭圆的方程为x28 y221.答案：x28y2212设 F1、F2 为椭圆x24 y23 1 的左、右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 两点，当四边形 PF1QF2 的面积最大时，PF1 PF2 的值等于_解析：如图，由椭圆对称性知四边形 PF1QF2的面积等于F1F2P 面积的两倍，且 F1F22c2，故当 P 为椭圆短轴端点时，F1F2P 的面积最大，此时 P(0，3)或(0，3)不妨设 P(0，3)，则由 F1(1,0)，F2(1,0)，答案：2得PF1(1，3)，PF2(1，
19、3)，所以PF1 PF2 132.3已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F1，F2，且 F1F2 2，点(1，32)在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且AF2B 的面积为12 27，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程解：(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意可得：椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(1,0)，F2(1,0)2a11232211232252324.a2，又 c1，b2413，故椭圆的方程为x24 y231.(2)设直线 l 的方程为 xty1，由xty1，x24 y23 1，消去 x 得(43t2)y26ty90，0 恒成立，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y26t43t2，y1y2943t2，所以|y1y2 y1y224y1y236t243t22 3643t212t2143t2，又圆 F2 的半径为 r|1t011t221t2，所以 SAF2B12 F1F2|y1y2|y1y212 t2143t2 12 27，解得 t21，所以 r21t2 2，故圆 F2 的方程为：(x1)2y22.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用