1、第八章立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.2021陕西省部分学校摸底检测已知a,b,c是三条不同的直线,是一个平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若ab,b,则a;若a,b,则ab.其中为真命题的是()A.B.C.D.2.2020河南省名校4月模拟如图8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BC=2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为()图8-2-1A.2B.3C.4D.63.2020合肥三检点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,若APD与BCP的面积之比等于2,则点P的轨迹
2、是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分4.数学文化题九章算术是我国的一部古代数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图8-2-2),其中四边形ABCD为矩形,EFAB,若AB=3EF,ADE和BCF都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线AE与CF所成角的大小为.图8-2-25.2020四川五校联考在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为.6.2021贵阳市摸底测试如图8-2-3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题:直线BC与平面A
3、BC1D1所成的角等于4;点C到平面 ABC1D1的距离为22;异面直线D1C和BC1所成的角为4;三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球的半径为32.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个图8-2-37.2021安徽省四校联考在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1内一点,若AP平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是()A.52,2B.324,52C.328,62D.62,28.2020陕西省部分学校摸底检测将正方形ABCD中的ACD沿对角线AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,则异面直线AB与CD所成
4、的角为()A.90B.60C.45D.309.2020广东七校第二次联考如图8-2-4,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题错误的是()A.存在P,Q运动到某一位置,使ABPQB.BPQ的面积为定值C.当点P不与点A重合时,直线PB1与AQ是异面直线D.无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ10.2021黑龙江省六校联考如图8-2-5,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别是棱BC,C1D1的中点,点P在平面A1B1C1D1内,点Q在线段A1N上,若PM=5,则PQ长度的最小值为.答 案第八章立
5、体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.B对于,因为ab,bc,所以ac(一条直线垂直于两条平行线中的一条,也垂直于另一条),故是真命题;对于,若ab,bc,则a,c可能平行、相交,也可能异面,故是假命题;对于,若ab,b,直线a与平面可能相交,也可能平行,故是假命题;对于,若b,则存在l,使得bl,又a,所以al,所以ab,故是真命题.故选B.2.B取B1C1的中点D1,连接A1D1,D1C.易证A1D1AD,故A1D1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.AB=AC=2,BC=2,D为BC的中点,ADBC,AD=AB2-BD2=(2)2-12=1,A1D1=AD=1,又A1C=
6、AA12+AC2=(2)2+(2)2=2,D1C=D1C12+C1C2=12+(2)2=3,A1D12+D1C2=A1C2,A1D1C为直角三角形,cosD1A1C=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3,故选B.3.A解法一因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD平面DCC1D1,BC平面DCC1D1,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以ADDP,BCCP,则SADPSBCP=PDPC=2,以D为原点,分别以DC,DD1为x,y轴建立平面直角坐标系,设P(x,y),正方体的棱长为1,则D(0,0),C(1,0),PDPC=2,即x2+y2(x
7、-1)2+y2=2,化简整理得x2+y2-83x+43=0,因为点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以点P的轨迹是圆x2+y2-83x+43=0在侧面DCC1D1内的部分,故选A.解法二因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD平面DCC1D1,BC平面DCC1D1,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以ADDP,BCCP,则SADPSBCP=PDPC=2,所以P点的轨迹为圆,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以点P的轨迹是圆在侧面DCC1D1内的部分,故选A.【方法总结】在
8、平面内,一动点到两定点距离之比为常数(1),则动点的轨迹为圆.4.2如图D 8-2-6,在平面ABFE中,过F作FGAE交AB于G,连接CG,则CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设EF=1,则AB=3,AD=2.因为EFAB,AEFG,所以四边形AEFG为平行四边形,所以FG=AE=AD=2,AG=1,BG=2,又ABBC,所以GC=BG2+BC2=22,又CF=BC=2,所以CG2=GF2+CF2,所以CFG=2,即异面直线AE与CF所成角的大小为2.图D 8-2-65.613+32如图D 8-2-7,延长EF,A1B1,相交于点M,连接AM,交BB1于点H,延长FE,A1D1,相
9、交于点N,连接AN,交DD1于点G,连接FH,EG,可得截面为五边形AHFEG.因为ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,易得EF=32,AG=AH=213,EG=FH=13,截面的周长为AH+HF+EF+EG+AG=613+32.图D 8-2-76.C正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,对于,直线BC与平面ABC1D1所成的角为CBC1=4,故正确;对于,点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半,即距离为22,故正确;对于,连接AC,因为BC1AD1,所以异面直线D1C和BC1所成的角即直线D1C和AD1所成的角,又ACD1是等
10、边三角形,所以异面直线D1C和BC1所成的角为3,故错误;对于,三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球就是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球,正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球半径r=12+12+122=32,故正确.故选C.7.B如图D 8-2-8所示,分别取棱A1B1,A1D1的中点M,N,连接MN,B1D1,M,N,E,F均为所在棱的中点,MNB1D1,EFB1D1,MNEF,又MN平面BDEF,EF平面BDEF,MN平面BDEF.连接NF,AN,AM,则NFA1B1,NF=A1B1,又A1B1AB,A1B1=AB,NFAB,NF=AB,四边形ANFB为平行四边形,则ANFB,
11、而AN平面BDEF,FB平面BDEF,AN平面BDEF.又ANNM=N,平面AMN平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1内一点,且AP平面BDEF,点P在线段MN上.在RtAA1M中,AM=AA12+A1M2=1+14=52,同理,在RtAA1N中,得AN=52,则AMN为等腰三角形.当P在MN的中点时,AP最小,为(52)2-(24)2=324,当P与M或N重合时,AP最大,为52.线段AP长度的取值范围是324,52.故选B.图D 8-2-88.B如图D 8-2-9,连接BD,取AC,BD,AD的中点分别为O,M,N,连接ON,OM,MN,则由三角形的中位线定理知ON=12CD,MN=
12、12AB,所以所求的角为ONM或其补角.连接BO,OD,因为AB=BC,所以BOAC.因为平面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,BO平面ABC,所以BO平面ACD,所以BOOD.设原正方形ABCD的边长为2,则BO=OD=2,所以BD=2,所以OM=12BD=1,所以图D 8-2-9ON=MN=OM=1,所以OMN是等边三角形,所以ONM=60,即异面直线AB与CD所成的角为60,故选B.9.B对于选项A,当P,Q分别是线段AD1和B1C的中点时,ABPQ,故A正确;对于选项B,P在A处时,BPQ的面积为12,P在AD1的中点时,BPQ的面积为24,故BPQ的面积不是定值,故B错
13、误;对于选项C,当点P不与点A重合时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与题意矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于选项D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ,故D正确.故选B.10.355-1如图D 8-2-10,取B1C1的中点O,连接OM,OP,则MO平面A1B1C1D1,所以MOOP.因为PM=5,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N是D1C1的中点,所以A1N=5,OP=1,所以点P在以O为圆心,1为半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上,单独画出平面A1B1C1D1及相关点、线,如图D 8-2-11,所以点O到A1N的距离减去半径就是PQ长度的最小值.连接A1O,ON,作OHA1N交A1N于H,则SA1NO=22-1221-1211-1221=32,所以12A1NOH=32,解得OH=355,所以PQ长度的最小值为355-1.图D 8-2-10图D 8-2-11
