1、第7节 函数的图象与变换考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换 f(x)k(2)对称变换yf(x)的图象关于x轴对称 y_的图象；yf(x)的图象关于y轴对称 y_的图象
2、；yf(x)的图象关于原点对称 y_的图象；yax(a0，且 a1)的图象 关于直线yx对称y_(a0，且 a1)的图象.f(x)f(x)f(x)logax(3)伸缩变换yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax).yf(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍 yAf(x).(4)翻转变换yf(x)的图象x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y_的图象；yf(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y_的图象.|f(x)|f(|x|)常用结论与易错提醒1.图象左右平移变换是针对自变量 x 而言的，如从 f(2x)的图象到 f(2x1)的图象
3、是向右平移12个单位，先作如下变形 f(2x1)f2x12，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到.()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数yf(x)满足f(1
4、x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()解析(1)yf(x)的图象向左平移1个单位得到yf(1x)的图象，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.(3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错.答案(1)(2)(3)(4)2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A.f(x)ex1B.f(x)ex1 C.f(x)ex1D.f(x)ex1 解析 依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex
5、，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.答案 D 3.(2019浙江名师预测卷)函数y(exex)sin|2x|的图象可能是()解析 由题可知函数 f(x)(exex)sin|2x|是奇函数，故排除 B，C；当 x0，4 时，f(x)0，故排除 D，故选 A.答案 A 4.若函数yf(x)在x2，2的图象如图所示，则当x2，2时，f(x)f(x)_.解析 由于yf(x)的图象关于原点对称，f(x)f(x)f(x)f(x)0.答案 0 5.若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_.解析 在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示
6、.由图象知当a0时，方程|x|ax只有一个解.答案(0，)6.已知函数f(x)2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)_；若把函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)_.解析 g(x)的图象与函数f(x)2x的图象关于x轴对称，g(x)2x.把f(x)2x的图象向左平移1个单位，得m(x)2x1的图象，再向下平移4个单位，得h(x)2x14的图象.答案 2x 2x14 考点一 作函数的图象【例 1】作出下列函数的图象：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y2x1x1；(4)yx22|x|1.解(1)先作出
7、 y12x的图象，保留 y12x图象中 x0 的部分，再作出 y12x的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图实线部分.(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y2 1x1，故函数图象可由 y1x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位即得，如图.(4)yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法 画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是
8、熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin|x|.解(1)y|lg x|lg x，x1，lg x，0 x0，排除 B，C.故选 D.(2)结合图形及函数的解析式可知 yx|sin x|，yxcos|x|，yxln|x|都是奇函数，而yx2ex是非奇非偶函数，对比图象，第一个图象对应的解析式为；对于函数 yxcos|x|来说，当 0 x1 时，y0，当
9、 x 时，y0，对比图象可知第二个图象对应的解析式为；对于函数 yxln|x|来说，当 0 x1 时，y0，且当 x1 时，y0，对比图象可知第三个图象对应的解析式为；对于函数 yx|sin x|来说，当 x0 时，y0，当 x0 时，y0，对比图象可知第四个图象对应的解析式为；由此可知按照图象从左到右的顺序对应的函数的序号正确的一组是，故选 C.答案(1)D(2)C 规律方法(1)抓住函数的性质，定性分析 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特
10、征，定量计算 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】(1)(2019浙江名校新高考研究联盟三联)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是()A.f(x)ex1ex1sin xB.f(x)1ex1exsin xC.f(x)ex1ex1cos xD.f(x)1ex1excos x(2)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()解析(1)由图象可知该函数是偶函数，因为 A，B 的函数是偶函数，C，D 是奇函数，故排除 C，D.A，B 中，因为 f()0，取 x4，则 A 项中，f4 e41e41 22 0，B 项中，f4 0，所以可以排除 B，故选 A.(2)f(x
11、)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又f(2)8e2(0，1)，排除A，B.设g(x)2x2ex，x0，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.答案(1)A(2)D 考点三 函数图象的应用【例31】(一题多解)设函数f(x)min|x2|，x2，|x2|，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者.下列说法错误的是()A.函数f(x)为偶函数 B.若x1，)时，有f(x2)f(x)C.若xR时，f(f(x)f(x)D.若x4，4时，|f(x)2|f(x)多维探究解析 法一
12、由f(x)min|x2|，x2，|x2|，得f(x)min|x2|，(x)2，|x2|f(x)，即函数f(x)为偶函数；如图，作出函数f(x)的图象，将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x2)的图象在1，)上的部分位于f(x)的图象的下方，则有f(x2)f(x)；令f(x)u0，则由图象知f(u)u，由排除法知D错误，故选D.法二 若x4，4，则0f(x)2，故|f(x)2|2f(x)f(x)等价于0f(x)1，所以当x4，4时，|f(x)2|f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x4，则|f(4)2|0f(4)，D错误，故选D.答案 D 角度2 研究函数零点(或方程根
13、)的个数【例 32】(2019杭州三校三联)已知函数 f(x)2x，2x0，12f（x2），0 x4，若函数yf(x)log2(ax)恰有两个零点，则实数 a 的取值范围为_.解析 函数 yf(x)log2(ax)恰有两个零点等价于函数 f(x)与 g(x)log2(ax)的图象恰有两个交点，在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象如图所示，其中函数 g(x)log2(ax)的图象可以看作是由函数 h(x)log2(x)的图象向右平移 a 个单位长度得到的，当 g(x)log2(ax)过点(2，0)时，a1，g(x)与 f(x)只有一个交点；当 g(x)log2(ax)过点(0，0)时，a1
14、，g(x)与 f(x)只有一个交点；当 g(x)log2(ax)过点(2，0)时，a3，g(x)与 f(x)有两个交点；当 g(x)log2(ax)过点(2，1)时，a4，且此时g(x)也过点(0，2)，g(x)在(2，4)上与 f(x)有一个交点，共 3 个交点；当 g(x)log2(ax)过点4，12 时，a4 2，此时 f(x)与 g(x)有一个交点；故当 a4 2时，f(x)与 g(x)无交点.综上，当 a1 或 a4 2时，函数 g(x)与 f(x)无交点；当1a1 或 4a4 2时，函数 g(x)与 f(x)有一个交点；当 1a3 时，函数 g(x)与 f(x)有两个交点；当 3a
15、4 时，函数 g(x)与 f(x)有三个交点，所以 1a3.答案(1，3 角度3 求不等式的解集【例 33】函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式f（x）cos x 0.当 x2，4 时，ycos x0.结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x2时，f（x）cos x 0.又函数 yf（x）cos x 为偶函数，在4，0上，f（x）cos x0 的解集为2，1，所以f（x）cos x f(x)2x的解集是_.解析(1)因为 F(x)f（x）（f（x）g（x），g（x）（f（x）x.在同一直角坐标系中分别画出 yf(x)与 yx 的图象，由图象可知不等式的解集为(1，0)(1，2.答案(1)C(2)(0，13，)(3)(1，0)(1，2