1、 核心概念掌握 知识点 正弦定理 .利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：已知 ，求其他两边和一角已知 ，求另一边的对角，进一步求出其他的边和角01 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 asinA bsinB csinC02 任意两角与一边03 任意两边与其中一边的对角1深入理解正弦定理(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系若 AB，则 ab.反之，若 ab，则 A1，无解；若 sinB1，一解；若 sinBBA，最小边为 a.c1，由正
2、弦定理，得 acsinAsinC 1sin45sin75 226 24 31，即最小边的长为 31.答案 题型二已知两边及一边的对角解三角形例 2 根据下列条件解三角形：(1)b 3，B60，c1；(2)c 6，A45，a2.解(1)bsinB csinC，sinCcsinBb1sin60312.bc，B60，C1，故三角形无解答案 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边
3、所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论(1)在ABC 中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则 x 的取值范围是()Ax|x2Bx|x2Cx|2x2 2Dx|2xb 且 sinA2，24 x1，2x2 2.解法二：要使三角形有两解，则basinB，即2xsin45，2x2 2.解析(2)b4，c8，bc，B30bcsinB，所以本题有一解由正弦定理，得 sinCcsinBb8sin3041.又 cb，CB，所以 30C180，所以 C90.所以 A180(BC)60.所以 a c2b24 3.a7，b8，因为 a90，所以本题无解解析 题型三判断三角形的形状例 3 在ABC 中
4、，若 sinA2sinBcosC，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状解 解法一：A，B，C 为三角形的内角，A(BC)sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinCsinA2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC0，即 sin(BC)0.答案 BC，BC0.BCA2Bsin2Asin22Bsin2Asin2Bsin2C2sin2B，sin22B2sin2B2sinBcosB 2sinBsinB0，cosB 22.B4.C4，A2.ABC 为等腰直角三角形答案 解法二：由正弦定理，得 asinA bsinB csinC.sin2Asin2Bsin2C，a2
5、b2c2.A2，BC2.sinA2sinBcosC，即 sinA2sinBcos2B，12sin2B，B(0，)，sinB 22，B4，ABC 为等腰直角三角形答案 判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC 这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解(3)判断三角
6、形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别在ABC 中，已知 a2tanBb2tanA，则ABC 的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形或直角三角形答案 D答案 解析 将 a2RsinA，b2RsinB(R 为ABC 的外接圆的半径)代入已知条件，得 sin2AtanBsin2BtanA，则sin2AsinBcosBsinAsin2BcosA.sinAsinB0，sin2Asin2B，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2，故ABC 为等腰三角形或直角三角形.解析 题型四
7、三角形解的个数的判断例 4 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2 3，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin6010 3，absinA，本题无解答案(2)a2 3，b6，ab，A30bsinA，bsinAa1，此三角形无解解析 答案(1)C(2)1答案 解法二：c2，bsinC2 3，cbsinC故此三角形无解解法三：在角 C 的一边上确定顶点 A，使 ACb4 3，作ACD30，以顶点 A 为圆心，ABc2 为半径画圆，如图所示，该圆与 CD 没有交点，说明该三角形解的个数为 0.(2)因为
8、 A453b，所以ABC 的个数为 1.解析 题型五正弦定理与三角恒等变换的工具作用例 5 已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC 3asinCbc0.求 A解 由正弦定理及 acosC 3asinCbc0，得 sinAcosC3sinAsinCsinBsinC0.又 sinBsin(AC)，于是 sinAcosC 3sinAsinC(sinAcosCcosAsinC)sinC0，得 sinC(3sinAcosA1)0，因为 C(0，)，所以 sinC0，即 3sinAcosA1 即 sinA6 12，所以 A66，即 A3.答案 正弦定理在研究三角形边角关系
9、中，可以适当地进行转变，边转化成角或角转化为边，利用三角恒等变换或解方程求解在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinAacosC(1)求角 C 的大小；(2)求 3sinAcosB4 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小解(1)由正弦定理及已知条件得sinCsinAsinAcosC因为 0A0，从而 sinCcosC，则 C4.答案(2)由(1)知，B34 A，于是 3sinAcosB4 3sinAcos(A)3sinAcosA2sinA6.因为 0A34，所以6A60，所以 2cosC1，cosC12.因为 C(0，)，所以 C3.答案 (2)由余弦
10、定理，得 c2a2b22abcosC,7a2b22ab12，即(ab)23ab7，S12absinC 34 ab3 32，所以 ab6，所以(ab)2187，ab5，所以ABC 的周长为 abc5 7.答案 三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式 S12absinC12bcsinA12acsinB 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解如图所示，在ABC 中，已知 B45，D 是 BC 边上的一点，AD10，AC
11、14，DC6，求 AB 的长解 在ADC 中，由余弦定理的推论，得 cosADCAD2DC2AC22ADDC10036196210612，因为ADC(0，180)，所以ADC120，所以ADB18012060.在ABD 中，由正弦定理，得ABADsinADBsinB10sin60sin45 10 32225 6.答案 随堂水平达标 1在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2asinB，则角 A 等于()A30B45 C60D75解析 b2asinB，利用正弦定理的变式得 sinB2sinAsinBsinB0，A 为锐角，sinA12，A30.解析 答案 A
12、答案 2在ABC 中，已知 a8，B60，C75，则 b 等于()A4 2B4 3C4 6D323解析 A180(BC)45，然后再利用正弦定理求出 b4 6.解析 答案 C答案 3在ABC 中，若 sinAsinB，则角 A 与角 B 的大小关系为()AABBAsinB2RsinA2RsinBabAB解析 答案 A答案 4在ABC 中，已知 a5 2，c10，A30，则 B_.解析 根据正弦定理 asinA csinC，得 sinCcsinAa10125 2 22.C45或 135，当 C45时，B105；当 C135时，B15.解析 答案 105或 15答案 5在ABC 中，角 A，B 所对的边分别为 a，b，且 A60，a 6，b4，那么满足条件的ABC 有几个？解 由正弦定理 asinA bsinB，得6sin60 4sinB.sinB4 326 21，无解没有满足上述条件的三角形答案 课后课时精练