1、康杰中学20142015学年度第二学期期中考试高二数学试题（理） 2015.4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数，那么等于（ ）A. B. C. D. 2. 下面说法正确的有（ ） 演绎推理是由一般到特殊的推理；演绎推理得到的结论一定是正确的；演绎推理的一般模式是“三段论”形式；演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个-112xy03. 已知函数的图像如图所示，设函数从-1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D
2、. 不确定4. 已知,则（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 1C. D. 6. 函数的最小值为-1，则等于（ ）A.2B. C. 6D. 77. 满足等式的复数对应的点所表示的图形是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 直线D.线段8. 已知且, 则（ ）A. 两个都大于2B. 两个都小于2C. 至少有一个小于2D. 至多有一个小于29.已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A. 1B. C. 2D. 310. 设，若函数有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由正整数的倒
3、数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如，则第10行第3个数（从左往右数）为（ ） .A. B. C. D. 12. 是定义在上可导函数，且，则对任意正实数，下列成立的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知复数（是虚数单位），则 .14. .15. 在中，于，则，类比上述结论，在四面体中，若两两垂直，平面，则 .16. 若函数有六个不同的单调区间，则实数的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. （本小题满分1
4、0分）已知0, 求证：.18. （本小题满分12分）求抛物线与直线围成的平面图形的面积.19. （本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值.（1）求的值及函数的单调区间;（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.20. （本小题满分12分）设数列的前项和为，且对任意的正整数都有：.（1）求（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.22. （本小题满分12分）已知函数的图像在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3.（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求整数的最大值.命题人：王晋宏审题人：侯彦
5、宁高二数学（理）答案一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.D二、13. -2 14. 15. 16.（2，3）三、17. 要证，只要证（2分）因为 ，故只要证，即（6分）从而只要证：只要证，即，而上述不等式显然成立.（10分）18.由方程组，解得抛物线与直线的交点为（2，2）及（8，4）取为积分变量，由图可得（5分）（10分）所以 （12分）19.解（1） 由，且，得（2分），单调区间如下：1+00+极大值极小值所以函数递增区间为和，递减区间为（6分）（2）当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，只须得或（12分）20. 解（1）由 ，得；由，得；由，得；（4分）（2）猜想：.证明：当时，显然成立；假设当（，且）时，成立. （6分）则当时，由，得.从而时，猜想也成立. 综合得结论成立. （12分）21.（5分）（4分）22.解：（1）因为，所以.（1分）因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即，所以.（4分）（2）由（1）知，所以等对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则令，.所以函数在上单调递增.（7分）因为，所以函数0在上存在唯一实根，且满足.当时，即0；当时，即.（9分）所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，故整数的最大值是3. （12分）