1、（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学5月联考试题（甲卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合Ax|lg(x2)0，0，|0)的焦点为F(2，0)，过点F的
2、直线交C于A，B两点，OAB的重心为点G，则点G到直线3x3y10的距离的最小值为A.2 B. C. D.212.已知函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且x1，e2时，f(x)lnx，若x2e2，e2时，方程f(x)k(x2)有三个不同的根，则k的取值范围为A.(， B.(，) C.(， D.(，)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若变量x，y满足约束条件，则zx2y5的最小值为 。14.已知双曲线E：(a0，b0)，M(1，8)，过点M的直线交E于A，B两点，M为AB的中点，且直线AB与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为 。15.已知锐角ABC中，AB3，AC4，A，
3、延长AB到点D，使sinBCD，则SBCD 。16.如图所示的三棱锥PABC，PA平面ABC，ABC，若PAa，ABc，PB10，BC2，当ac取最大值时，点A到平面PBC的距离为 。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若a1，a3，a210成等差数列，S3a210。(I)求an与Sn；(II)设bnlog2(Sn2)an，数列bn的前n项和记为Tn，求Tn。18.(12分)已知如图，在四棱锥PABCD中
4、，底面ABCD为正方形，ABPA2，PA平面ABCD，E为PC上一点，且PE2EC。(I)求证：PC平面BDE；(II)求二面角ABEP的平面角的余弦值。19.(12分)核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测。通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染。某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取一部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性
5、，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测。以此类推，直到确定所有样本的结果。若每次检测费用为a元，记检测的总费用为X元。(I)当n3时，求X的分布列和数学期望；(II)(i)比较n3与n4两种方案哪一个更好，说明理由；(ii)试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，n5和n10两种方案哪一个更好(只需给出结论不必证明)。20.(12分)已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若，sinAF1F2。(I)求E的标准方程；(II)若直线l交E于P，Q两点，设PQ中点为M，O为坐标原点，|PQ|2|OM|，作ONPQ，求证：|ON|为定值。21.(12分)已知函数f(x
6、)x2ax2a2lnx，aR。(I)当a1时，求f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线；(II)求函数f(x)的单调区间；(III)判断函数f(x)在区间(0，a23a8lna)上的单调性。(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修44：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(3sin2)12。(I)求直线l的普通方程和C的直角坐标方程；(II)若直线l与曲线C的交点为A，B，P为曲线C上的动点，若PAB的面积最大值为S，求S的值。23.选修45：不等式选讲(10分)已知函数f(x)3|x2|xm|(xR)，不等式f(x)3的解集为(1，n)。(I)求m，n的值；(II)若三个实数a，b，c，满足abcm。证明：(bc)2(a2bc)2(ab2c)2。
