1、第2节 二次函数考试要求 1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.知 识 梳 理 1.二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0).(2)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k).(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).2.二次函数yax2bxc的图象和性质 a0 a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系mn b2a，即 b2a(n，)m b
2、2an，即 b2a(m，n)b2amn，即 b2a(，m)图象最值f(x)maxf(m)，f(x)minf(n)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minf b2af(x)maxf(n)f(x)minf(m)4.一元二次方程根的分布 设方程ax2bxc0(a0)的不等两根为x1，x2且x1x2，相应的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件)表一：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于 k 即x1k，x2k，x2k一个根小于 k，一个大于 k，即x1k0)综合结论(不讨论 a)af（k）0表
3、二：（根在区间上的分布）分布情况两根都在（m，n）内两根都在区间（m，n）外（x1n）一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，mnp0）综合结论（不讨论 a）若两根有且仅有一根在（m，n）内，则需分三种情况讨论：当0时，由0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；当f（m）0或f（n）0，方程有一根为m或n，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间（m，n）内；当f（m）f（n）0（0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.（2）不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.诊 断 自 测1.判断下
4、列说法的正误.（1）如果二次函数 f（x）的图象开口向上且关于直线 x1 对称，且过点（0，0），则此二次函数的解析式为 f（x）（x1）21.（）（2）已知函数 f（x）ax2x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是120，.（）（3）二次函数 yax2bxc（xR）不可能是偶函数.（）（4）二次函数 yax2bxc（xa，b）的最值一定是4acb24a.（）答案（1）（2）（3）（4）2.已知f（x）x2pxq满足f（1）f（2）0，则f（1）的值是（）A.5B.5 C.6D.6 解析 由f（1）f（2）0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f（x）x23x2，f（
5、1）6.答案 C 3.若方程x2（m2）xm50只有负根，则m的取值范围是（）A.4，）B.（5，4 C.5，4D.（5，2）解析 由题意得（m2）24（m5）0，x1x2（m2）0，解得 m4.答案 A 4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为（）A.0，1B.1，2 C.（1，2D.（1，2）解析 画出函数yx22x3的图象（如图），由题意知1m2.答案 B 5.已知方程x2（m2）x2m10的较小的实根在0和1之间，则实数m的取值范围是 .解 析 令 f（x）x2 （m 2）x 2m 1.由 题 意 得f（0）0，f（1）0，1（m2）2m10，解得
6、12m0，其图象如图所示，f（|x|）在6，6上的单增区间为1，0和1，6，单减区间为6，1）和（0，1）.规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意：（1）抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；（2）要注意数形结合思想的应用.【训练2】（1）设abc0，二次函数f（x）ax2bxc的图象可能是（）（2）若函数f（x）ax22x3在区间4，6上是单调递增函数，则实数a的取值范围是 .解析（1）由 A，C，D 知，f（0）c0，所以 ab0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f（0）c0，所以 ab0，所以对称轴 x b2a0
7、 时，函数 f（x）在区间1，2上是增函数，最大值为 f（2）8a14，解得 a38；（3）当 a0 时，函数 f（x）在区间1，2上是减函数，最大值为 f（1）1a4，解得 a3.综上可知，a 的值为38或3.【例32】将例31改为：求函数f（x）x22ax1在区间1，2上的最大值.解 f（x）（xa）21a2，f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa，（1）当a12时，f（x）maxf（2）4a5；（2）当a12，即 a12时，f（x）maxf（1）22a.综上，f（x）max4a5，a12，22a，a12.规律方法 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要
8、明确参数对图象的影响，进行分类讨论.【训练3】设函数f（x）x22x2，xt，t1，tR，求函数f（x）的最小值.解 f（x）x22x2（x1）21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f（t）t22t2.综上可知，f（x）mint21，t1.考点四 一元二次方程根的分布 解 线段 AB 的方程为x3y31（x0，3），即 y3x（x0，3），角度1 两根在同一区间【例41】若二次函数yx2mx1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围.多维探究由
9、题意得方程组：y3x，yx2mx1，消去 y 得 x2（m1）x40，由题意可得，方程在x0，3内有两个不同的实根，令f（x）x2（m1）x4，则（m1）2160，0m123，f（0）40，f（3）103m0，解得m3，1m5，m103，所以 3m103.故实数 m 的取值范围是3，103.角度2 两根在不同区间【例42】求实数m的取值范围，使关于x的方程x22（m1）x2m60.（1）一根大于1，另一根小于1；（2）两根，满足014；（3）至少有一个正根.解 令 f（x）x22（m1）x2m6，（1）由题意得 f（1）4m50，解得 m0，f（1）4m50，解得m3，m75，所以75m0，f
10、（0）2m60，2（m1）20，解得3m1.当方程有一个正根一个负根时，f（0）2m60，解得m0，（2）24m0，无解.f（0）0，（2）m0，解得m0，（3）m0，（2）24m0.解得m1，经验证，满足题意.又当m0时，f（x）2x1，它显然有一个为正实数的零点.综上所述，m的取值范围是（，01.规律方法 利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤：（1）设出对应的二次函数；（2）利用二次函数的图象和性质列出等价不等式（组）；（3）解不等式（组）求得参数的范围.【训练4】（1）已知二次函数y（m2）x2（2m4）x（3m3）与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.（2
11、）若关于x的方程x22（m1）x2m60有且只有一根在区间（0，3）内，求实数m的取值范围.解（1）令f（x）（m2）x2（2m4）x（3m3）.由题意可知（m2）f（1）0，即（m2）（2m1）0，所以2m12.即实数 m 的取值范围是2，12.（2）令f（x）x22（m1）x2m6，4（m1）24（2m6）0，0（m1）3，解得m1或m5，2m1，所以 m1.f（0）f（3）（2m6）（8m9）0，解得3m98.f（0）2m60，即m3时，f（x）x28x，另一根为8（0，3），所以舍去；f（3）8m90，即 m98时，f（x）x2174 x154，另一根为54（0，3），满足条件.综上可得，3m98或 m1.所以实数 m 的取值范围是3，98 1.
