1、 核心概念掌握 知识点一 余弦定理 知识点二 余弦定理的推论cosA ，cosB ，cosC .01 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC01 b2c2a22bc02 a2c2b22ac03 a2b2c22ab知识点三 解三角形(1)把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素(2)叫做解三角形知识点四 余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形01 三个角 A，B，C02 对边 a，b，c03 已知三
2、角形的几个元素求其他元素的过程01 两边及其夹角02 三边1对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化2判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想判断三角形的形状有两条思路：化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式(2)判定三角形形状时经常用到下列结
3、论：在ABC 中，若 a2b2c2，则 0A90；反之，若 0A90，则 a2b2c2.例如：在不等边ABC 中，a 是最大的边，若 a2b2c2，则 90A180；反之，若 90Ab2c2.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广()(3)已知ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状()2做一做(1)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1，b 7，c 3，则 B_.(2)已知ABC 的三边分别为 2,3,4，则此三角形是_三角形(3)在ABC 中
4、，若 a2b2c2ab，则角 C 的大小为_(4)在ABC 中，AB4，BC3，B60，则 AC 等于_答案(1)56 (2)钝角(3)3(4)13 答案 核心素养形成 题型一已知两边及一角解三角形例 1 在ABC 中，a2 3，c 6 2，B45，解这个三角形解 由余弦定理得 b2a2c22accosB(2 3)2(6 2)222 3(6 2)cos458，b2 2，又 cosAb2c2a22bc8 6 222 3222 2 6 2 12，A60，C180(AB)75.答案 已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解
5、(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长(1)在ABC 中，已知 a4，b6，C120，则边 c 的值是()A8 B2 17C6 2D2 19(2)在ABC 中，已知 b3，c3 3，B30，求角 A，C 和边 a.答案(1)D(2)见解析答案 解 析 (1)根 据 余 弦 定 理，c2 a2 b2 2abcosC 16 36 246cos12076，c2 19.(2)由余弦定理，得 b2a2c22accosB，32a2(3 3)22a3 3cos30，a29a180，解得 a3 或 6.当 a3 时，A30，C
6、120.当 a6 时，由余弦定理，得 cosAb2c2a22bc92736233 30.A90，C60.答案 题型二已知三边(三边关系)解三角形例 2(1)在ABC 中，若 a7，b4 3，c 13，则ABC 的最小角为()A3B6C4D 12(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ab4，ac2b，且最大角为 120，求此三角形的最大边长解析(1)因为 cbb，且 ab4，又 ac2b，则 b4c2b，所以 bc4，则 bc，从而 abc，所以 a 为最大边，A120，ba4，ca8.由余弦定理，得 a2b2c22bccosA(a4)2(a8)2(a4)(a8)，
7、即 a218a560，解得 a4 或 a14.又 ba40，所以 a14.即此三角形的最大边长为 14.解析 答案(1)B(2)见解析答案 条件探究 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解 因为 cbab，知角 C 为最大角，则 cosCa2b2c22ab12，C120，即此三角形的最大角为 120.解析 答案 120答案 4在ABC 中，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，b 2，c1 3，且 a2b2c22bcsinA，则边 a_.解析 由已知及余弦定理，得 sinAb2c2a22bccosA，A45，a2b2c22bccos454，a2.解析 答案 2答案 5在ABC 中，basinC，cacosB，试判断ABC 的形状解 由余弦定理知 cosBa2c2b22ac，代入 cacosB，得 caa2c2b22ac，c2b2a2，ABC 是以 A 为直角的直角三角形又 basinC，baca，bc，ABC 也是等腰三角形综上所述，ABC 是等腰直角三角形答案 课后课时精练