1、阶段1阶段2阶段3学业分层测评1.3.2 杨辉三角1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用.基础初探教材整理 1 杨辉三角阅读教材 P29，完成下列问题.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是_，与这两个 1 等距离的项的系数_.(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_，即_.1相等和Cmn1Cm1nCmn1.如图 1-3-1 是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行的首尾两个数均为_.13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9图 1-
2、3-1【解析】由 1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以 an2n1.【答案】2n12.如图 1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_行从左到右第14 与第 15 个数之比为 23.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1图 1-3-2【解析】设第 n 行从左到右第 14 与第 15 个数之比为 23，则 3C13n 2C14n，即3n！13！n13！2n！14！n14！，解得 n34.【答案】34教材整理 2 二项式系数的性质阅读教材 P29后半部分，完成下列问题.1.每一行的两端都是_，其余每个数都等于_2.每一行中，与首末两端“_”的两个数相等.等距离1 它“肩上”
3、两个数的和3.如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么其展开式_的二项式系数最大；如果 n 是奇数，那么其展开式_的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于_.2n中间一项 Tn21中间两项 Tn+12 与 Tn+1211.已知(ab)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于_.【解析】因为只有第 5 项的二项式系数最大，所以n215，所以 n8.【答案】82.已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为 32，则 n 等于_.【导学号：62980026】【解析】二项式系数之和为 C0nC1nCnn2n32，所以 n5.【答案】53.(2x1)10展开式中 x 的奇次幂
4、项的系数之和为_.【解析】因为(2x1)10a0a1xa2x2a10 x10，令 x1，得 a0a1a2a101，再令 x1，得 310a0a1a2a3a10，两式相减，可得 a1a3a913102.【答案】13102质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型与“杨辉三角”有关的问题 如图 1-3-3，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值.图133【精彩点拨】由图知，数列中的首项是 C22，第 2
5、 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211.【自主解答】S19(C22C12)(C23C13)(C24C14)(C210C110)C211(C12C13C14C110)(C22C23C210C211)(23410)C31221092220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：再练一题1.如图 1-3-4 所示，满足如下条件：第 n 行首尾两数均为 n
6、；表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第 10 行的第 2 个数是_，第 n 行的第 2 个数是_.图 1-3-4【解析】由图表可知第 10 行的第 2 个数为：(1239)146，第 n 行的第 2 个数为：123(n1)1nn121n2n22.【答案】46 n2n22 求展开式的系数和 设(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017(xR).(1)求 a0a1a2a2 017的值；(2)求 a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 017|的值.【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解.【自主解答】(1)令 x1，得 a0a1a2a
7、2 017(1)2 0171.(2)令 x1，得 a0a1a2a2 01732 017.得 2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017132 0172.(3)Tr1Cr2 017(2x)r(1)rC r2 017(2x)r，a2k10(kN)，a2k0(kN).|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x0 可得常数项，令 x1 可得所有项系数之和，令 x1 可得偶
8、次项系数之和与奇次项系数之和的差.再练一题2.若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【解】(1)令 x0，则 a01；令 x1，得 a7a6a1a027128，所以 a1a2a7129.(2)令 x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得 2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得 2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.二项式系数性质的应用探究共研型探究 1 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式
9、系数的什么性质？【提示】对称性，因为 CmnCnmn，也可以从 f(r)Crn的图象中得到.探究 2 计算 CknCk1n，并说明你得到的结论.【提示】CknCk1nnk1k.当 k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当 kn12 时，二项式系数逐渐减小.探究 3 二项式系数何时取得最大值？【提示】当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项 Cn12n，Cn+12n 相等，且同时取得最大值.已知 f(x)(3 x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.【精彩点拨】求二项式系数最大的
10、项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“”“”号.【自主解答】令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或 2n32，n5.(1)由于 n5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3C25(x23)3(3x2)290 x6，T4C35(x23)2(3x2)3270 x223.(2)展开式的通项公式为 Tr1Cr53rx23(52r).
11、假设 Tr1项系数最大，则有Cr53rCr15 3r1，Cr53rCr15 3r1，5！5r！r！35！6r！r1！，5！5r！r！5！4r！r1！3，3r 16r，15r 3r1.72r92，rN，r4.展开式中系数最大的项为 T5C45x23(3x2)4405x263.1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得.再练一题3.已知(a21)n 展开式中的各项系数之和等于165
12、x2 1x5 的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值.【导学号：62980027】【解】由165 x2 1x5，得 Tr1Cr5165 x2 5r1xr1655rCr5x205r2，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C45165 16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3C24a454，所以a 3.构建体系1.(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A.n，n1 B.n1，nC.n1，n2D.n2，n3【解析】该展开式共 2n2 项，中间两
13、项为第 n1 项与第 n2 项，所以第 n1 项与第 n2 项为二项式系数最大的项.【答案】C2.已知 C0n2C1n22C2n2nCnn729，则 C1nC3nC5n的值等于()【导学号：62980028】A.64B.32 C.63 D.31【解析】C0n2C1n2nCnn(12)n3n729，n6，C16C36C5632.【答案】B3.若(x3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7ab)10 的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为_.【解析】(7ab)10的展开式中二项式系数的和为 C010C110C1010210，令(x3y)n中 xy1，则由题设知，4n210，即 22n210，解得
14、 n5.【答案】54.已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若 a280，则 a0a1a2a5_.【解析】(ax)5展开式的通项为 Tr1(1)rCr5a5rxr，令 r2，得 a2(1)2C25a380，解得 a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令 x1，得 a0a1a2a51.【答案】15.在x2x28的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项.【解】Tr1Cr8(x)8r2x2r(1)rCr82rx45r2.(1)设第 r1 项系数的绝对值最大.则Cr82rCr18 2r1，Cr82rCr18 2r1，18r 2r1，2r 19r.解得 5r6.故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项.(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项.所以 T5C4824x42021 120 x6.(3)由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正.则系数最大的项为 T7C6826x111 792x11.(4)系数最小的项为 T6(1)5C5825x1721 792x172.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评 点击图标进入
