1、河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应栏内填写自己的班级、姓名、考场、准考证号，并用2B铅笔将考试科目、准考证号涂写在答题卡上.2卷内容须用0.5mm黑色签字笔写在答题卡相应空格或区域内.3考试结束，将答题卡交回.第卷（选择题）一、选择题1. 直线的倾斜角为（ ）A. 30B. 120C. 60D. 150【答案】B【解析】【分析】利用倾斜角的定义求解即可【详解】，倾斜角为120故选：B2. 若点到直线：的距离为
2、2，则直线的方程为（ ）A. B. C 或D. 或【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出和即可求解【详解】由，化简得，所以或，所以，直线的方程为或故选：C3. 已知，则与的夹角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】由题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.详解】由题意，可得，设，则，因为，所以故选：C.4. 设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得故选：D5. 已知，（其中是两
3、两垂直的单位向量），则与的数量积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量是两两垂直的单位向量，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量是两两垂直的单位向量，设，则，所以故选：A.6. 以下四组向量：，；，；，；，.其中，分别为直线，的方向向量，则它们互相平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的坐标表示和向量共线定理，逐一判断即可得结果.【详解】，.，.，.，.故选：D【点睛】本题考查向量的坐标表示和向量共线定理，考查了运算求解能力，属于基础题目.7. 直线关于直线对称的直线方程是（）A. B. C. D. 【答案
4、】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【详解】设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，化简得故选答案D 故选D【点睛】本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题8. 已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的数量积公式先求解，再计算与，根据数量积夹角公式，即可求解.【详解】由题意得：，.设夹角为，.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.二、多选题9. 已知向量， ， ，则下列
5、结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用向量共线与垂直的判定条件即可得出【详解】，；，故选：BC【点睛】本题主要考查向量平行与垂直，属于基础题10. 如果，且，那么直线通过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】ABD【解析】【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.【详解】由直线方程，可化为，因为，且，可得，所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限故选：ABD.11. 一条直线和平面所成角为，那么的正弦值可能是（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】直线与平面所成的
6、角范围是，即可得的正弦值取值范围【详解】直线与平面所成的角范围是，由线面角的定义知的正弦值取值范围是，所以A、B、C正确故选：ABC12. 如图，空间四边形中，分别是，的中点，下列结论正确的是（ ）A. B. 平面C. 平面D. ，是一对相交直线【答案】BC【解析】【分析】应用异面直线的定义和线面平行的判定定理逐一判断选项可得结果.【详解】A：点平面，点直线，点平面，由异面直线的定义可知，是异面直线，A错；B：，由直线与平面平行判定定理可得平面，答案B对；C：，由直线与平面平行的判定定理可得平面，答案C对；D：点平面，点直线，点平面，由异面直线的定义可知，是异面直线，D错；故选：BC.第卷（非
7、选择题）二、填空题13. 已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)，点D在x轴上，则当点D坐标为_时，ABCD.【答案】(9,0)【解析】设点D(x,0)，因为kAB 40，所以直线CD的斜率存在则由ABCD知，kABkCD1，所以4 1，解得x9.故答案为(9,0)14. 已知直四棱柱中，底面是直角梯形，为直角，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出以及，最后根据即可得出结果.【详解】因为四棱柱使直四棱柱，为直角，所以可以以为坐标原点，以、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，因为，
8、所以，故异面直线与所成的角的余弦值为，故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果.15. 若实数，满足关系，则式子的最小值为_【答案】【解析】【分析】化简，看成是一个动点到一个定点的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，化简可得，所以上式可看成是一个动点到一个定点距离，从而即为点与直线：上任意一点的距离，由
9、点到直线的距离公式，可得，所以的最小值为故答案为：.【点睛】形如：的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，则的长为_【答案】【解析】【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，分别求得点的坐标，结合空间中两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示，因为正方体棱长为，所以，由于为的中点，取中点，所以，因为，所以为的四等分点，从而为的中点，故，所以故答案为：.四、解答题17
10、. 根据下列条件求直线的方程：（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】【分析】对（1）和（2）直接利用截距式求直线方程即可，对（3）分直线在两坐标轴上的截距为零和不为零两种情况，进行分析即可得解.【详解】（1）在轴上的截距为5，所以在轴上的截距为，利用截距式可得方程为（2）在轴上的截距为5，所以在轴上的截距为3或7，利用截距式可得方程为或（3）若直线在坐标轴上的截距不为零（或者说直线不过原点），则可设直线方程为，由已知过点，即，解得，的方程为，即；若直线在两坐标轴上的截距
11、为零（或者说直线过原点），则可设直线的方程为，代入点A的坐标，得的方程为，即，所求直线的方程为或18. 如图所示，在长方体中，为线段上一点（1）求证：；（2）当为线段的中点时，求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可（2）利用等体积法，进而求解即可【详解】（1）证明：连接，因为是长方体，且，所以四边形是正方形，所以，因为在长方体中，平面，平面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，因为平面，所以（2）点到平面的距离，的面积，所以，在中，所以，同理又，所以的面积设三棱锥的高为，则因为，所以，所以，解得，即三棱锥的高为所以点到平面的距离为【
12、点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法，进而得出，进而求出三棱锥的高19. 如下图，在平行四边形中，点，过点作于点（1）求所在直线的方程；（2）求点坐标【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由斜率公式，求得，根据，求得的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由，求得直线的斜率，求得直线的方程，联立方程组，即可求解.【详解】（1）由题意得，直线的斜率为，因为，所以，可得的斜率为，所以的方程为，即.（2）由题意得，点，因为，所以直线斜率与的斜率相等，所以的方程为，即，联立方程，解得，所以20. 直棱柱中，底面是直角梯形，若为的中点，求证：平面，且平面【答案】证明见解析.【解析】
13、【分析】连接，证明，利用线面平行的判定定理即可.【详解】为的中点，连接，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以平面， 因为面，面，所以平面21. 在长方体中，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：（1）求直线与所成的角的余弦值；（2）作于，求点到点的距离【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意写出点的坐标，求出，的坐标，利用空间向量求异面直线所成角即可；（2）由题意得，设，求出，的坐标，列出方程组，求解，得出点坐标，利用向量的模求解即可.【详解】（1）由题意得，与所成的角的余弦值为（2）由题意得，设，解得，22. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明
14、：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且 由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”