1、课时规范练50双曲线基础巩固组1.(2020山东济南三模,6)已知双曲线C的方程为x216-y29=1,则下列说法错误的是()A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y=34xC.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为942.设双曲线C:x28-y2m=1(m0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C交于M,N两点,其中M在左支上,N在右支上.若F2MN=F2NM,则|MN|=()A.82B.8C.42D.43.(2019全国3,理10)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,
2、则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.324.(2020全国3,理11)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.85.(2020陕西安康高新中学检测)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A为C的左顶点,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且MAN=135,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=12xB.y=33xC.y=3xD.y=2x6.(2020山东泰安三模,8)如图,已知双曲线C:x2a2
3、-y2a+2=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于点A,AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D.27.(2020全国2,理8,文9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.328.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与
4、l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=19.(2020河北唐山模拟)过双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F(-5,0),作圆(x-5)2+y2=4的切线,切点在双曲线E上,则E的离心率等于()A.25B.5C.53D.5210.(2020江苏,6)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y25=1(a0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是.11.(2020北京,12)已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.综合提升组12.(2020浙江,8)
5、已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图像上的点,则|OP|=()A.222B.4105C.7D.1013.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,以F为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P,Q,若OQ=3OP(其中O为原点),则双曲线C的离心率为()A.7B.5C.52D.7214.(2020全国1,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.15.已知双曲线C:x2a
6、2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.创新应用组16.已知双曲线C:x24-y2=1,直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点),且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,则直线l所过定点为.参考答案课时规范练50双曲线1.D由题意a=4,b=3,则c=5,则双曲线C的实轴长为2a=8,故A正确;双曲线C的渐近线方程为y=bax=34x,故B正确;取焦点F(5,0),则焦点F到渐近线y=34x的距离d=|35|32+42=3,故C正确;双曲线C上的点到
7、焦点距离的最小值为c-a=5-4=1,故D错误.故选D.2.A由F2MN=F2NM可知,|F2M|=|F2N|.由双曲线定义可知,|MF2|-|MF1|=42,|NF1|-|NF2|=42,两式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=82.故选A.3.A由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|yP|=12632=324.故选A.4.A不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则mn,依题意得,ca=5,12mn=4,m2+n2=4c
8、2,m-n=2a,解得a=1.5.D设以F1F2为直径的圆与渐近线y=bax相交于点M(x0,y0)(x00),由对称性得N(-x0,-y0).由y=bax,x2+y2=c2,解得M(a,b),N(-a,-b).A(-a,0),NAF2=90,又MAN=135,MAF2=45,b=2a,渐近线方程为y=2x.故选D.6.D设AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|.|MF1|-|MF2|=2a,则|EF1|+|MG|-|MF2|=2a,由对称性可知|AF1|=|AF2|,化简可得|MN|=a,则a=2,a+2=4.故双
9、曲线C的离心率为22+42=2.7.B由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8.所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.所以c4,所以2c8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.8.D双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),直线l方程为yb+x1=1,即y=-bx+b,-b=-ba且-bba=-1,a=1,b=1.故选D.9.B设圆的圆心为G,由圆的方程(x-5)2+y2=
10、4,知圆心坐标为G(5,0),半径R=2,则|FG|=25.设切点为P,则GPFP,|PG|=2,|PF|=2+2a.由|PF|2+|PG|2=|FG|2,即(2+2a)2+4=20,即(2+2a)2=16,得2+2a=4,a=1.又因为c=5,所以双曲线的离心率e=ca=5.故选B.10.32本题考查双曲线的渐近线方程.由双曲线x2a2-y25=1(a0),得其渐近线方程为y=5ax,又因为其中一条为y=52x,所以a=2.所以c2=a2+b2=4+5=9,所以c=3.则离心率e=ca=32.11.(3,0)3在双曲线C中,a=6,b=3,则c=a2+b2=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,
11、0).因为双曲线C的渐近线方程为y=22x,即x2y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为d=312+2=3.12.D由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,所以双曲线方程为x2-y23=1(x0).又点P为函数y=34-x2图像上的点,联立方程x2-y23=1(x0),y=34-x2,解得x2=134,y2=274.所以|OP|=x2+y2=10.故选D.13.D设双曲线的一条渐近线方程为y=bax,H为PQ的中点,可得FHPQ,由F(c,0)到渐近线的距离为|FH|=d=bca2+b2=b,|PH|=a2-b2.又OQ=3OP,|OH|=c2-
12、b2=2a2-b2,即7a2=4c2,e=72,故选D.14.2由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,b2a.AB的斜率为3,Bc,b2a.kAB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,e=2.15.1,53设P(x,y),则(x+c)2+y2=4(x-c)2+y2,化简得x-53c2+y2=169c2,所以点P在以M5c3,0为圆心,43c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bxay=0上,所以渐近线与圆M有公共点,所以53bcb2+a243c,解得5b4
13、c,即ca53,所以双曲线离心率的取值范围是1,53.16.-103,0设点A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,x24-y2=1,得(1-4k2)x2-8kmx-4(m2+1)=0,所以=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)0,x1+x2=8km1-4k2,x1x2=-4(m2+1)1-4k2,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-4k21-4k2.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),所以kADkBD=-1,即y1x1+2y2x2+2=-1,所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,即m2-4k21-4k2+-4(m2+1)1-4k2+16km1-4k2+4=0,所以3m2-16km+20k2=0,解得m=2k或m=10k3.当m=2k时,直线l的方程为y=k(x+2),此时直线l过定点(-2,0),与已知矛盾;当m=10k3时,直线l的方程为y=kx+103,此时直线l过定点-103,0,经检验符合题意.故直线l过定点-103,0.