1、第1节 函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理 1.函数与映射的概念 非空数集 函数 映射 两个集合A，B 设A，B是两个_ 设A，B是两个_ 对应关系f：AB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个元素x，在集合B中都有_的元素y与之对应 非空集合任意唯一确定任意唯一确
2、定名称 称_为从集合A到集合B的一个函数 称_为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数yf(x)，xA 映射：f：AB f：ABf：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的_叫做函数的_.(2)如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则这两个函数为相等函数.定义域集合f(x)|xA值域定义域对应关系3.函数的表示法 表示函数的常用方法有_、图象法和_.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义
3、域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.解析法列表法对应关系并集并集常用结论与易错提醒 1.由函数解析式确定定义域的原则(1)分式中，分母不为0；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于幂函数yx，如果0，要求x0；(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数 ytan x 要求 xk12，kZ.2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)函数y1与yx0是同一个函数.()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()(3
4、)函数 y x211 的值域是y|y1.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于 x211，故 y x2110，故函数 y x211 的值域是y|y0.(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()解析 A中函数定义域不是2，2，C中图形不表示函数图象，D中函数值域不是0，2.答案 B 3.设函数 y 4x2的定
5、义域为 A，函数 yln(1x)的定义域为 B，则 AB()A.(1，2)B.(1，2C.(2，1)D.2，1)解析 由4x20得2x2，A2，2，由1x0得x1，B(，1).AB2，1)，故选D.答案 D 4.已知 a 为实数，设函数 f(x)x2a，x2，log2（x2），x2，则 f(2a2)的值为()A.2aB.a C.2D.a或2 解析 因为2a22，所以f(2a2)log2(2a22)a，故选B.答案 B 5.设函数f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)_.解析 由题意得g(x2)2x32(x2)1，g(x)2x1.答案 2x1 6.(2020北仑中学模拟)已知 f(x)x
6、2，x0，x2，x0，则 f(f(1)_；f(f(x)1 的解集为_.解析 因为 f(1)1，所以 f(f(1)f(1)12，令 f(t)1，则有 t2 或 t1(舍)，当 f(x)2 时，若 x0，则 x4；若 x0，则 x 2，所以该方程的解集为 2，4.答案 12 2，4考点一 求函数的定义域【例 1】(1)(2020金丽衢十二校联考)函数 y 32xx2的定义域是_，值域是_.(2)若函数 yf(x)的定义域是1，2 020，则函数 g(x)f（x1）x1的定义域是_.解析(1)由 32xx20，得3x1，所以函数 y 32xx2的定义域为3，1.当 x1 时，y 32xx2取得最大值
7、 2，当 x1 或3 时，y 32xx2取得最小值 0，所以函数 y 32xx2的值域为0，2.(2)yf(x)的定义域为1，2 020，g(x)有意义，应满足1x12 020，x10.0 x2 019，且 x1.因此 g(x)的定义域为x|0 x2 019，且 x1.答案(1)3，1 0，2(2)x|0 x2 019，且x1 规律方法 求函数定义域的类型及方法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域可由ag(x)b求出；若已知f(g(x)的定
8、义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域.【训练 1】(1)已知函数 f(x)x的定义域为(1，2)，则函数 f(x2)的定义域是()A.(1，2)B.(1，4)C.RD.(2，1)(1，2)(2)已知函数 f(x)2x22axa1，当 a1 时不等式 f(x)1 的解集是_；若函数 f(x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)由题意，得 1x22，解得 2x1 或 1x1)，则 x 2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1).(3)在 f(x)2f1x x1 中，将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f1x 2f(x)1x1，由f（x
9、）2f1x x1，f1x 2f（x）1x1，解得 f(x)23 x13.答案(1)13 1(2)lg 2x1(x1)(3)23 x13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x).(4)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.【训练 2】(1)已知 f(x1)x
10、2 x，则 f(x)_.(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x).若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.(3)定义在(1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，则 f(x)_.解析(1)令 x1t，则 x(t1)2(t1)，代入原式得 f(t)(t1)22(t1)t21，所以 f(x)x21(x1).(2)当1x0 时，0 x11，由已知 f(x)12f(x1)12x(x1).(3)当x(1，1)时，有2f(x)f(x)lg(x1).将x换成x，则x换成x，得2f(x)f(x)lg(x1).由消去 f(x)得，f(x)2
11、3lg(x1)13lg(1x)，x(1，1).答案(1)x21(x1)(2)12x(x1)(3)23lg(x1)13lg(1x)，(1x1)考点三 分段函数 角度1 求分段函数的函数值【例 31】设函数 f(x)1log2（2x），x1，f(log212)2(log2121)2log266，因此f(2)f(log212)369.答案 C 角度2 求参数的值或取值范围【例 32】(1)设 f(x)x，0 x1.f(a)f(a1)，a2(a11)，解得 a14，f1a f(4)2(41)6.(2)f(1)2e02，f(f(1)f(2)log3(41)1.当 x2 时，f(x)2 即 ex11e0，
12、x1，1x2.当 x2 时，f(x)2 即为 log3(x21)2log332，x210，即 x 10或 x 10，x 10.答案(1)C(2)1(1，2)(10，)规律方法(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练 3】(1)已知函数 f(x)2x12，x1，log2（x1），x1，且 f(a)3，则 f(6a)()A.74B.54C
13、.34D.14(2)(2019台州期末评估)已知 f(x)x3，x0，x2x1，x0，则 f(2)_；不等式 f(x)f(1)的解集为_.解析(1)当 a1 时，f(a)2a123，即 2a11，不成立，舍去；当 a1时，f(a)log2(a1)3，即 log2(a1)3，解得 a7，此时 f(6a)f(1)22274.故选 A.(2)根据题意得 f(x)x3，x0，x2x1，x0，则 f(2)4215，f(1)1111，对于 f(x)f(1)，即 f(x)1，当 x0 时，f(x)1 即 x31，解得2x0，当 x0 时，f(x)1 即 x2x11，解得 x1，综上可得，不等式的解集为(2，0)(1，).答案(1)A(2)5(2，0)(1，)