1、第四节 数列求和 第四节 数列求和 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1公式法求和(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和(2)掌握一些常见数列前n项和 123n_.135(2n1)_ n2.nn122错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是_和_ 3倒序相加法 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是_求和公式的推广 等差数列等比数列等差数列4分组转化法 有一类数列，既不是等差数
2、列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并 5裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：(1)1nn1_.(2)12n12n1_(3)1nk n_.1n 1n112(12n112n1)nk nk思考感悟裂项相消时的注意事项有哪些？提示：裂项相消时，如12n12n112(12n112n1)，相消时，消掉了哪些项、剩下了哪些项要特别注意课前热身 1数列 124，146，168，12n2n2，的前 n 项和为_答案：n4n42(2011年镇江调研)设f(n)2242721023n1(nN)，则f(n
3、)等于_ 答案：27(8n11)3已知数列an的通项公式是 an2n12n，其前 n 项和 Sn32164，则项数 n 等于_答案：6 4数列an的通项公式an(1)n1(4n3)，其前n项和为Sn，则S100等于_ 答案：200 考点探究挑战高考 考点突破 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)，其最简单的形式为：若数列an中有a1ana2an1a3an2，就可以用此方法求和 设函数 yf(x)的定义域为 R，其图象关于点(12，12)成中心对称，令 anf(kn)，(nN*，n2)，k1,2,3，
4、n1，求数列an的前(n1)项的和【思路分析】图象关于(12，12)成中心对称，所以 f(x)f(1x)1，所以 f(kn)f(1kn)1，即可利用倒序相加法求 Sn1.例1【解】yf(x)的图象关于点(12，12)对称，f(x)f(1x)1，f(kn)f(nkn)1.Sn1a1a2an1f(1n)f(2n)f(n1n)，Sn1an1an2a1f(n1n)f(n2n)f(1n)两式相加得 2Sn1(n1)1，Sn1n12.变式训练 1 已知函数 f(x)x21x2，则 f(14)f(13)f(12)f(1)f(2)f(3)f(4)_.【名师点评】当数列具有“首尾配对”，“中心对称”特征时，常用
5、倒序相加法 解析：f(n)f(1n)n21n21n21 1n21，f(14)f(13)f(12)f(1)f(2)f(3)f(4)72.答案：72变式训练 2 已知函数 f(x)12x 2，则 f(5)f(4)f(5)f(6)_.答案：3 2错位相减法求和 用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和(2010年
6、高考课标全国卷)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.【思路分析】(1)由an1an322n1的结构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.例2【解】(1)由已知，当 n1 时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1，而 a12 符合上式，所以数列an的通项公式为 an22n1.(2)由 bnnann22n1 知，Sn12223325n22n1，从而 22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n
7、22n1，即 Sn19(3n1)22n12【名师点评】错位相减法的运用并不困难，其难点是运算的结果不易计算正确，最后的结果，往往显得繁琐，因而整理化简过程中要格外细心 变式训练 3 在等比数列an中，a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn1log2anlog2an1，nN*，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设等比数列an的公比为 q.依题意，得a12，a4a1q316.解得 q2，数列an的通项公式 an22n12n.(2)由(1)得 log2ann，log2an1n1.bn1nn11n 1n1.Snb1b2bn(112)(1213)(1n 1n1)1 1n1
8、nn1.分组求和法 1数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之 2常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和 已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a22(1a1 1a2)，a3a4a564(1a3 1a4 1a5)(1)求an的通项公式；(2)设 bn(an 1an)2，求数列bn的前 n 项和 Tn.例3【思路分析】(1)用a1，q代入两已知条件，可求出a1
9、，q；(2)化简bn的式子，分组求和【解】(1)设公比为 q，则 ana1qn1，由已知有a1a1q2 1a1 1a1q，a1q2a1q3a1q464 1a1q2 1a1q3 1a1q4.化简得a21q2，a21q664.又 a10，故 q2，a11.所以 an2n1.(2)由(1)知 bn(an 1an)2a2n 1a2n24n1 14n12.因此 Tn(144n1)(11414n1)2n4n141 1 14n1142n13(4n41n)2n1.【名师点评】分组求和法要注意数列的特征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要注意的拆项、裂项求和法 1利用裂项相
10、消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等2一般情况如下，若an是公差不为 0 的等差数列，则1anan11d(1an 1an1)，1anan212d(1an 1an2)此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an 及 Sn；(2)令 bn1a2n1(nN*)，求数列bn的前 n项和 Tn.例4【思路分析】(1)由基本量的运算求出an及Sn；(2)bn的式子为分式结构，
11、考虑裂项相消法求和【解】(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a5a726，所以 a12d7,2a110d26，解得 a13，d2.由于 ana1(n1)d，Snna1an2，所以 an2n1，Snn(n2)(2)因为 an2n1，所以 a2n14n(n1)，因此 bn14nn114(1n 1n1)故 Tnb1b2bn14(11212131n 1n1)14(1 1n1)n4n1.所以数列bn的前 n 项和 Tnn4n1.【名师点评】如果数列的通项公式可转化为 f(n1)f(n)的形式，常采用裂项求和的方法特别地，当数列形如1anan1，其中an是等差数列，可尝试采用此法
12、常用裂项技巧如：1nnk1k(1n 1nk)1nk n1k(nk n)使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列an中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点实质上，正负项相消是此法的目的 变式训练 4(2011 年南通调研)已知数列an是各项均不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且满足 a2nS2n1，令 bn1anan1，数列bn的前 n 项和为 Tn.(1)求数列an的通项公式及数列bn的前n 项和 Tn；(2)是否存在正整数 m，
13、n(1m0，从而：1 62 m1，所以 m2，此时 n12.故可知：当且仅当 m2，n12 时，数列Tn中的 T1，Tm，Tn 成等比数列方法感悟 方法技巧1求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数 2非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：(1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成(2)不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消、错位相减和倒序相加法求和一般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每
14、项可写成两项之差，一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法3数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题决窍 4通项公式中含有(1)n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论失误防范1利用裂项相减法求和，裂项能否等价转化及怎样相消易出错，为避免出错，在裂项时，可检验一下；前n项和的展开式可以多列举几项寻找“相消”的规律 2数列求和结果易化简出错，若使用方法不只一个，可以分别求出其中一部分的结果，化简后再整理，结果不一定最简，但要易于观察，符合数学的习惯即可 考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉
15、及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点，题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合，考查综合运用知识的能力江苏省的数列题往往设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力，题目有一定的难度预测在2012年的江苏高考中，数列求和会以解答题的形式出现，结合不等式的有关知识，成为较为综合的问题 规范解答 例(本题满分 14 分)设数列an满足 a13a232a33n1ann3(nN*)(1)求数列an的通项；(2)设 bn nan，求数列bn的前 n 项和 Sn.【解】(1)a13a232a33n1ann3，当 n2 时，a13a232a33n2an1n13.2
16、分得 3n1an13，an 13n.4 分在中，令 n1，得 a113.an 13n，nN*.7 分(2)bnnan，bnn3n.Sn3232333n3n.3Sn32233334n3n1.9 分得，2Snn3n1(332333n).12 分即 2Snn3n1313n13，Sn2n13n1434，nN*.14 分【名师点评】本题主要考查结论anSnSn1，错位相减法求和及运算能力，对复杂的关系要善于概括、归纳，抽象其本质特征名师预测 1等差数列an中，Sn是前n项和，且S3S8，S7Sk，则k的值为_解析：因为数列an是等差数列，故 SnAn2Bn，即 an 是关于 n 的二次函数且缺少常数项，
17、由 S3S8 知，函数的对称轴是382 112，故112 7k2，k4.答案：42 将 正 偶 数 划 分 为 数 组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)，则第n组各数的和是_(用含n的式子表示)解析：先将每个数除以 2 得(1)，(2,3)，(4,5,6)可知第 n1 组最后一个数字为nn12，则第 n组的第一个数是nn1222n2n2，根据等差数列的前 n 项和公式有 Sn(n2n2)nn122n3n.答案：n3n3已知数列an，Sn 是其前 n 项的和，且满足3an2Snn(nN*)(1)求证：数列an12为等比数列；(2)记 TnS1S2Sn，求 Tn 的表达式解：(1)证明：当 n1 时，3a12S112a11.a11.当 n2 时，由 3an2Snn，得 3an12Sn1n1，得 3an3an12Snn2Sn1n12(SnSn1)12an1，即 an3an11，an123an11123(an112)，又 a112320，an12是首项为32，公比为 3 的等比数列(2)由(1)得 an12323n1，即 an323n112，代入得 Sn343n14(2n3)，TnS1S2Sn34(332333n)14(572n3)34313n13 nn4498(3n1)nn44.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用