1、阶段1阶段2阶段3学业分层测评第 2 课时 排列的综合应用1.掌握一些排列问题的常用解决方法.(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点)基础初探教材整理 排列的综合应用阅读教材 P11例 3P13，完成下列问题.1.解简单的排列应用题的基本思想2.解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是的话，再进一步分析，这里 n 个不同的元素指的是什么，以及从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解.1.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为_.【解析】从 2,4 中取一
2、个数作为个位数字，有 2 种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有 A34种排法.由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有 2A3448 个.【答案】482.A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 A，B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有_种.【解析】把 A，B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，共 A4424 种.【答案】243.从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动.若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有_种.【导学号：62980012】【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，
3、有 4 种选法(除甲、乙外)，其余活动共有 A35种选法，由分步乘法计数原理知共有 4A35240 种选派方案.【答案】240质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型无限制条件的排列问题(1)有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2)有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从 5 种不
4、同的书中任选 1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算.【自主解答】(1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是 A3554360，所以共有 60 种不同的送法.(2)由于有 5 种不同的书，送给每个同学的每本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是 555125，所以共有125 种不同的送法.1.没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可.2.对于不属于排列的计数问题，注意
5、利用计数原理求解.再练一题1.(1)将 3 张电影票分给 10 人中的 3 人，每人 1 张，共有_种不同的分法.(2)从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有_种.【解析】(1)问题相当于从 10 张电影票中选出 3 张排列起来，这是一个排列问题.故不同分法的种数为 A3101098720.(2)从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有 A3554360.【答案】(1)720(2)60排队问题 7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男学生 4 人，女学生2 人，在下列情况下，各有多少种不同站
6、法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2 名女生必须相邻而站；(3)4 名男生互不相邻；(4)若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站.【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论.【自主解答】(1)先考虑甲有 A13种站法，再考虑其余 6 人全排，故不同站法总数为：A13A662 160(种).(2)2 名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余 5 人全排，有 A66种排法，所以有不同站法 A22A661 440(种).(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站
7、位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法 A44种，所以共有不同站法 A33A44144(种).(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法 2A77A44420(种).解决排队问题时应注意的问题1.对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列.2.对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入.3.对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可.4.“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素
8、入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.再练一题2.3 名男生，4 名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种.(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端.【解】(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的 6 人中选 3 人排列，有 A36种站法，然后再排其他位置，有 A44种站法，所以共有 A36A442 880种不同站法.(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A22种站法，其余 5 人全排列，有 A55种站法.故共有 A22A55240 种不同站法.数字排列问题探究共研型探究1 偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同
9、数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被 2 整除.先从 2,4 中任取一个数字排在个位，共 2 种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共 4 种排法，故从 1,2,3,4,5 中任取两个数字，能组成 248(种)不同的偶数.探究 2 在一个三位数中，身居百位的数字 x 能是 0 吗？如果在 09 这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为 0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为 0，在具体排数时，从元素 0的角度出发，可先将 0 排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从19这9个数字
10、中任取一个数字排百位，然后再从剩余 9 个数字中任取两个数字排十位与个位位置.探究 3 如何从 26,17,31,48,19 中找出大于 25 的数？【提示】先找出十位数字比 2 大的数，再找出十位数字是 2，个位数字比5 大的数即可.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是 5 的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外，还可以用间接法求解.【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有 A13种填法，第二步再填十万位，有
11、A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有 A13A14A44288(个)六位奇数.法二：从特殊元素入手(直接法)0 不在两端有 A14种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位有 A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排法，故共有 A14A13A44288(个)六位奇数.法三：排除法 6 个数字的全排列有 A66个，0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的六位数有 3A44个，故满足条件的六位奇数共有 A663A553A44288(个).(2)法一：排除法 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个，0 在十
12、万位且 5 在个位的六位数有 A44个.故符合题意的六位数共有 A662A55A44504(个).法二：直接法 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同.因此需分两类：第一类：当个位排 0 时，符合条件的六位数有 A55个.第二类：当个位不排 0 时，符合条件的六位数有 A14A14A44个.故共有符合题意的六位数 A55A14A14A44504(个).解排数字问题常见的解题方法1.“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.2.“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过
13、程要做到不重不漏.3.“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数.4.“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.再练一题3.用 0,1,2,3,4,5 这六个数取不同的数字组数.(1)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比 1 325 大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则 240 135 是第几项.【导学号：62980013】【解】(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是 0 的五位数，有 A45个；第二类，个位上的数字是 5 的五位数，有 A14A34个.故满足条件的五位数的个数共有 A
14、45A14A34216(个).(2)符合要求的比 1 325 大的四位数可分为三类：第一类，形如 2，3，4，5，共 A14A35个；第二类，形如 14，15，共有 A12A24个；第三类，形如 134，135，共有 A12A13个.由分类加法计数原理知，无重复数字且比 1 325 大的四位数共有：A14A35A12A24A12A13270(个).(3)由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为 1 有 A55个数，首位数字为 2，万位上为 0,1,3 中的一个有 3A44个数，240 135 的项数是 A553A441193，即 240 135 是数列的第 193 项.构建体系 1.6 名
15、学生排成两排，每排 3 人，则不同的排法种数为()A.36B.120 C.720 D.240【解析】由于 6 人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为 A66720.【答案】C2.要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A.1 440 种B.960 种C.720 种D.480 种【解析】从 5 名志愿者中选 2 人排在两端有 A25种排法，2 位老人的排法有 A22种，其余 3 人和老人排有 A44种排法，共有 A25A22A44960 种不同的排法.【答案】B3.用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一
16、个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有_个.【解析】先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33144 个.【答案】1444.(2016莆田高二检测)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为_.【解析】分 3 步进行分析，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有 A222种排法，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有 A222 种排法，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有 A336 种排法.则共有 2262
17、4 种排法.【答案】245.从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4100 m 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第 1 类，甲不参赛，有 A45种参赛方案；第 2 类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有 2 种方法，然后安排其他 3 棒，有 A35种方法，此时有 2A35种参赛方案.由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A452A35240 种.法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的 5 人中选 2 人，有 A25种方法；其余两棒从剩余 4 人中选，有 A24种方法.由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A25A24240 种.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评 点击图标进入