1、第5节 数学归纳法(选用)考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳 理 1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第一个值n0(n0N*)nk12.数学归纳法的框图表示 常用结论与易错提醒 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)用数学归
2、纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()解析 对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修 22P99B1 改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验 n 等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析 三角形
3、是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.答案 C 3.已知 f(n)1n 1n1 1n2 1n2，则()A.f(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1213B.f(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)121314C.f(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213D.f(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)121314解析 f(n)共有 n2n1 项，当 n2 时，1n12，1n214，故 f(2)121314.答案 D 4.用数学归纳法证明 1121312n11)，第一步要证的不等式是_.解析 当 n2 时，式子为 112132.答案 1121325.用
4、数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真.解析 由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1.答案 2k1 6.用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成_.解析 因为n为正偶数，故第一个值n2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n2k，故应假设成x2ky2k能被xy整除.答案 2 x2ky2k能被xy整除 考点一 用数学归纳法证明代数(或三角)等式【例 1】用数学归纳法证明：124 146 16812n（2n2）n4（n1）(nN*).证明(1
5、)当n1时，左边121（212）18，右边14（11）18，左边右边，所以等式成立.(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即有12414616812k（2k2）k4（k1），则当 nk1 时，124 146 16812k（2k2）12（k1）2（k1）2k4（k1）14（k1）（k2）k（k2）14（k1）（k2）（k1）24（k1）（k2）k14（k2）k14（k11）.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立.规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1
6、时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【训练 1】用数学归纳法证明：当 nN*时，cos xcos 2xcos 3xcos nxsinn12 x2sin 12x12(xR，且 x2k，kZ).解(1)当 n1 时，等式右边sin112 x2sin 12x12sin112 xsin112 x2sin 12xsin xcos 12xcos xsin 12x sin xcos 12xcos xsin 12x2sin 12xcos x等式左边，等式成立.(2)假设当nk时等式成立，即 co
7、s xcos 2xcos 3xcos kxsink12 x2sin 12x12.那么，当nk1时，有cos xcos 2xcos 3xcos kxcos(k1)x sink12 x2sin 12x12cos(k1)xsin（k1）x12x 2sin 12xcos（k1）x2sin 12x12sin（k1）xcos 12xcos（k1）xsin 12x2sin 12xcos（k1）x2sin 12x12sin（k1）xcos 12xcos（k1）xsin 12x2sin 12x12sink112 x2sin 12x12.这就是说，当nk1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任何nN*等式都成
8、立.考点二 用数学归纳法证明不等式【例2】(2019浙江卷)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记 cnan2bn，nN*，证明：c1c2cn2 n，nN*.(1)解 设数列an的公差为 d，由题意得a12d4，a13d3a13d，解得a10，d2.从而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn).解得 bn1d(S2n1SnSn2).所以 bnn2n，nN*.(2)证明 cnan
9、2bn2n22n（n1）n1n（n1），nN*.我们用数学归纳法证明.当n1时，c102，不等式成立；假设当 nk(k1，kN*)时不等式成立，即 c1c2ck2 k.那么，当nk1时，c1c2ckck12 kk（k1）（k2）2 k1k12 k2k1 k2 k2(k1 k)2 k1，即当nk1时不等式也成立.根据和，不等式 c1c2cn2 n对任意 nN*成立.规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析
10、法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.【训练 2】(一题多解)已知各项非负的数列an中，a132，a2n1an1an(nN*).求证：anan1(nN*).证明 法一 由 a2n1an1an(nN*)得 an11 14an2.用数学归纳法证明32anan12.当 n1 时，32a1a21 722，结论成立.假设当 nk 时结论成立，则当 nk1 时，0ak21 14ak120，综上，anan1.法二 因为 a2n1an12(an12)(an11)an2，所以an12与an2同号，又 a1322，所以 an2，an12.又 anan1a2n12an10，所以 an0，nN
11、*.(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明(1)中的猜想.(1)解 当 n1 时，由已知得 a1a12 1a11，即 a212a120.a1 31(a10).当 n2 时，由已知得 a1a2a22 1a21，将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20).同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN*).(2)证明 由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak 2k1 2k1.由于 ak1Sk1Skak12 1ak1ak21ak，将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12
12、 2k1ak120，ak1 2k3 2k1，即 nk1 时通项公式成立.由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立.规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【训练 3】是否存在常数 a，b，c，使等式 122232n(n1)2n（n1）12(an2bnc)对一切正整数 n 都成立？证明你的结论.解 把 n1，2，3 代入得方程组abc24，4a2bc44，9a3bc70，解得a3，b11，c10，猜想：等式 122232n(n1)2n（n1）12(3n211n10)对一切nN*都成立.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上面的探求可知等式成立；(2)假设 nk 时等式成立，即 122232k(k1)2k（k1）12(3k211k10)，那么 nk1 时，则122232k(k1)2(k1)(k2)2 k（k1）12(3k211k10)(k1)(k2)2k（k1）12(3k5)(k2)(k1)(k2)2（k1）（k2）12k(3k5)12(k2)（k1）（k2）123(k1)211(k1)10，所以当nk1时，等式也成立.综合(1)(2)，对nN*等式都成立.