1、阶段1阶段2阶段3学业分层测评第 2 课时 基本计数原理的应用1.熟练应用两个计数原理.(重点)2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.(难点)基础初探教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材 P4P5，完成下列问题.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理 联系两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别一完成一件事共有 n 类办法，关键词是“_”完成一件事共分 n 个步骤，关键词是“_”区别二每类办法都能完成这件事任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件
2、事 区别三各类办法都是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互关联的、互相依存的分类分步1.由 1,2,3,4 组成没有重复数字的三位数的个数为_.【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为 43224.【答案】242.(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4)展开后共有_项.【导学号：62980004】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自 a1a2a3，b1b2b3，c1c2c3c4中的各一项.由 a1，a2，a3中取一项共 3 种取法，从 b1，b2，b3中取一项有 3 种不同取法，从 c1，c2，c3，c4中任取一项共 4 种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共
3、 33436(项).【答案】363.5 名班委进行分工，其中 A 不适合当班长，B 只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为_.【解析】根据题意，B 只适合当学习委员，有 1 种情况，A 不适合当班长，也不能当学习委员，有 3 种安排方法，剩余的 3 人担任剩余的工作，有 3216 种情况，由分步乘法计数原理，可得共有 13618 种分工方案.【答案】184.用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有_个.【解析】分三步完成，第 1 步，确定哪一个数字被使用 2 次，有 3 种方法；第 2 步，把这 2 个相同的数字排在四位数不相邻的两
4、个位置上，有 3 种方法；第 3 步，将余下的 2 个数字排在四位数余下的两个位置上，有 2 种方法.故有 33218 个不同的四位数.【答案】18质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A.16 种B.18 种 C.37 种 D.48 种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有_.【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级
5、分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解.(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有 43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有 33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有 433337(种).故选 C.(2)不妨由甲先来取，共 3 种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共 3 种取法，余下来的人，都只有 1 种选择，所以不同取法共有 33119(种).【答案】(1)C(2)9求解抽取(分配)问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.2.当涉及对象数目
6、很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.再练一题1.3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有 5 种选择；第二步：放第二个小球有 4 种选择；第三步：放第三个小球有 3 种选择.根据分步乘法计数原理得：共有方法数 N54360.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5，分成以下 10 类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有 3216(种)；第二类：空盒
7、子标号为(1,3)：选法有 3216(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有 3216(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 类，每一类都有 6 种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数 N66660(种).组数问题 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；(3)比 2 000 大的四位偶数.【精彩点拨】(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0 不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是 0,2,4 分
8、三类，也可以按首位是 2,3,4,5 分四类解决，也可以用间接法求解.【自主解答】(1)分步解决.第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 6 种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 5 种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 4 种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 3 种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有 6543360(个).(2)分步解决.第一步：首位数字有 5 种选取方法；第二步：百位数字有 5 种选取方法；第三步：十位数字有 4 种选取方法；第四步：个位数字有 3 种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5543
9、300(个).(3)法一 按末位是 0,2,4 分为三类：第一类：末位是 0 的有 44348 个；第二类：末位是 2 的有 34336 个；第三类：末位是 4 的有 34336 个.则由分类加法计数原理有 N483636120(个).法二 按千位是 2,3,4,5 分四类：第一类：千位是 2 的有 24324(个)；第二类：千位是 3 的有 34336(个)；第三类：千位是 4 的有 24324(个)；第四类：千位是 5 的有 34336(个).则由分类加法计数原理有 N24362436120(个).法三 间接法.用 0,1,2,3,4,5 可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位
10、是 0 的有 54360 个；第二类：末位是 2 或 4 的有 244396 个.共有 6096156(个).其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 34336(个)，所以符合条件的四位偶数共有 15636120(个).1.对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.2.解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.再练一题2.由 0,1,2,3 这四个数字，可组成多少个：【导学号：62980005】(1)无重
11、复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解】(1)0 不能做百位数字，所以百位数字有 3 种选择，十位数字有 3种选择，个位数字有 2 种选择，所以无重复数字的三位数共有 33218(个).(2)百位数字有 3 种选择，十位数字有 4 种选择，个位数字也有 4 种选择.由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有 34448(个).涂色问题探究共研型探究 1 用 3 种不同颜色填涂图 1-1-4 中 A，B，C，D 四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？ABCD图 1-1-4【提示】涂 A 区有 3 种涂法，B，C，D 区域各有 2 种不同的涂
12、法，由分步乘法计数原理将 A，B，C，D 四个区域涂色共有 322224(种)不同方案.探究 2 在探究 1 中，若恰好用 3 种不同颜色涂 A，B，C，D 四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】恰用 3 种不同颜色涂四个区域，则 A，C 区域，或 A，D 区域，或 B，D 区域必同色.由加法计数原理可得恰用 3 种不同颜色涂四个区域共32132132118(种)不同的方案.探究 3 在探究 1 中，若恰好用 2 种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】若恰好用 2 种不同颜色涂四个区域，则 A，C 区域必同色，且
13、B、D 区域必同色.先从 3 种不同颜色中任取两种颜色，共 3 种不同的取法，然后用所取的 2 种颜色涂四个区域共 2 种不同的涂法.由分步乘法计数原理可得恰好用2 种不同颜色涂四个区域共有 326(种)不同的涂色方案.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图 1-1-5 所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？图 1-1-5【精彩点拨】给图中区域标上记号 A，B，C，D，E，则 A 区域有 4 种不同的涂色方法，B 区域有 3 种，C 区域有 2 种，D 区域有 2 种，但 E 区域的涂色取决于 B 与 D 涂的颜色，如果 B 与 D 颜色相同有 2 种，如果不
14、相同，那么只有1 种.因此应先分类后分步.【自主解答】法一：给图中区域标上记号 A，B，C，D，E，如图所示.当 B 与 D 同色时，有 4321248 种.当 B 与 D 不同色时，有 4321124 种.故共有 482472 种不同的涂色方法.法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用 4 种颜色：此时 B，D 区域或 A，E 区域同色，则共有 2432148 种不同涂法.第二类，用 3 种颜色：此时 B，D 同色，A，E 同色，先从 4 种颜色中取 3种，再涂色，共 432124 种不同涂法.由分类加法计数原理共 482472 种不同涂法.求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求
15、解，常用方法有：1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.)再练一题3.如图1-1-6所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的，现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种.图 1-1-6【解析】先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有 321212 种不同的涂法.【答案】12构建体系1
16、.已知 x1,2,3,4，y5,6,7,8，则 xy 可表示不同值的个数为()A.2 B.4C.8D.15【解析】x 的取值共有 4 个，y 的取值也有 4 个，则 xy 共有 4416 个积，但是由于 3846，所以 xy 共有 16115(个)不同值，故选 D.【答案】D2.某年级要从 3 名男生，2 名女生中选派 3 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有()A.6 种B.7 种C.8 种D.9 种【解析】可按女生人数分类：若选派一名女生，有 236 种；若选派 2名女生，则有 3 种.由分类加法计数原理，共有 9 种不同的选派方法.【答案】D3.3 名学生
17、报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有_种.【导学号：62980006】【解析】每名同学都有 4 种不同的报名方案，共有 44464 种不同的方法.【答案】644.圆周上有 2n 个等分点(n 大于 2)，任取 3 点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为_.【解析】先在圆周上找一点，因为有 2n 个等分点，所以应有 n 条直径，不过该点的直径应有 n1 条，这 n1 条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成 n1 个直角三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共有 2n(n1)个符合题意的直角三角形.【答案】2n(n1)5.用 6 种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图 1-1-7 所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.问：该板报有多少种书写方案？图 1-1-7【解】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有 6 种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有 5 种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有 4 种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有 5 种不同的选法，共有 6545600 种不同的书写方案.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评 点击图标进入
