1、第七节 函数的图象及函数与方程 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第七节 函数的图象及函数与方程 双基研习面对高考 1常用的图象变换双基研习面对高考 基础梳理 奇函数图象关于原点对称偶函数图象关于 y 轴对称若对 f(x)定义域内每一个 x都有 f(mx)f(nx)，则 f(x)图象关于直线 xmn2对称思考感悟1函数yf(x)的图象关于原点对称与函数yf(x)和yf(x)的图象关于原点对称一致吗？提示：函数yf(x)的图象关于原点对称是指函数yf(x)自身的图象关于原点对称，而函数yf(x)和yf(x)的图象关于原点对称是指这两种函数各有自己的图象，但是这两种函数的图象关于原点对称 2函数
2、与方程(1)函数的零点对于函数yf(x)(xD)，使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的_即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有_横坐标零点求函数yf(x)的零点a(代数法)求方程f(x)0的实数根b(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点零点存在性定理函数在区间a，b上的图象是连续的，且f(a)f(b)0，那么函数f(x)在区间a，b上有零点思考感悟2一个图象连续的函数在区间a，b上，若f(a)f
3、(b)0，在什么情况下，f(x)在区间a，b上有且只有一个零点？提示：零点存在性定理只需再满足“函数在区间a，b上是单调的”这一条件，就可使f(x)在区间a，b上有且只有一个零点(2)用二分法求方程的近似解对于在区间a，b上连续，且满足f(a)f(b)_0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做_二分法2函数 y1 1x1的图象是_1为了得到函数y2x3的图象，只需把函数y2x的图象上所有的点向_平移_个单位长度答案：右 3答案：课前热身 3.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如
4、图，则不等式f(x)0的解集是_答案：x|2x0或2x54用二分法研究函数f(x)x23x1的零点时，第一次经过计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案：(0,0.5)f(0.25)考点探究挑战高考 考点突破 作图 作函数的图象不仅依据函数的解析式，而且还依赖于它的定义域用两个不同的函数解析式表示的函数，只有在对应法则相同、定义域相同的条件下，才是相同函数，才有相同的图象作函数图象，除了运用描点法外，还常常利用平移变换、对称变换等方法作出下列函数的图象(1)y2x11；(2)yx2x3；(3)ysin|x|；(4)y|log2(x1)|.例1【思路分析】所给函
5、数为非基本初等函数，因此要利用基本初等函数的图象进行变换作图，首先应将原函数式变形【解】(1)y2x11 的图象可由 y2x 的图象向左平移 1 个单位长度，得到 y2x1 的图象，再向下平移 1 个单位长度得到 y2x11 的图象，如图.(2)yx2x31 1x3，可见原函数可由 y1x向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度而得到，如图.(3)当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图象完全相同又 ysin|x|为偶函数，其图象关于 y 轴对称，如图.(4)首先作出ylog2x的图象C1，然后将C1向左平移1个单位长度，得到ylog2(x1)的图象C2，再把C2在x轴下
6、方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|log2(x1)|，如图(实线部分)【名师点评】作图象使用图象变换法时，应依次变换、循序渐近，同时要结合函数的有关性质来变换图象变式训练1 分别画出下列函数的图象(1)y|lgx|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)ylgxx1lgx0 x1.图象如图.(2)将 y2x 的图象向左平移 2 个单位图象如图.(3)yx22x1x0 x22x1x0.图象如图.识图 观察函数图象并能正确解读出图象所反映出的函数性质是“数形结合法”的基本要求，这也是“数形结合”的本质所在抓住图象基本的特征并结合相关的性质可以识别图象，但也要变换认识的
7、角度，才能更好地理解图象所反映出的信息(2010 年高考湖南卷改编)函数 yax2bx 与 ylog|ba|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是_例2【思路分析】由对数函数、二次函数的有关性质判断【解析】对于、由对数函数图象得|ba|1，而抛物线对称轴|b2a|12，|ba|1，不正确；对于中对称轴 b2a12，则|ba|1，而对数底数|ba|1，不成立而中，b2a12，|ba|1，又对数函数的底数|ba|1.【答案】【名师点评】识别函数图象可抓住函数的性质如定义域、值域(最值点)、单调性(趋向)、对称性等来判断，对函数出现的一些特殊点，如与坐标轴的交点，以及函数值的正负等情
8、况，都是判别函数的图象时常用到的对不同的图象也可采取对比比较来判断变式训练2 如图是两个函数在定义域2,3上的图象，给出下列函数及其相应的图象，则其中正确的是_(1)y 1fx (2)yg(x)2 (3)yf(x)g(x)解析：根据f(x)，g(x)的定义域，值域单调性可知(2)(3)错误答案：(1)函数图象与零点 函数零点可转化成方程的根，而方程的根往往可转化成两函数图象的交点横坐标(2009年高考山东卷)若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_例3【解析】设函数y1ax(a0且a1)和函数y2xa，则函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数y1a
9、x和y2xa有两个交点，由图象可知当0a1时，两函数只有一个交点，不合题意当a1时，函数y1ax(a1)图象过点A(0,1)而直线y2xa和y轴交于B(0，a)必在A(0,1)上方，故必有两个交点，a1.【答案】a1【名师点评】本题考查了指数函数的图象和直线的位置关系，函数零点往往可转化成两函数图象的交点变式训练3 设x0是方程2xx80的解，且x0(k，k1)，kZ，则k_.解析：设y12x，y28x，在同一坐标系内作出它们的图象，从图象可见这两图象有且只有一个交点且这个交点横坐标在2和3之间，故k2.答案：2二次函数零点的分布 二次函数零点的分布问题即一元二次方程根的分布问题，解决此类问题
10、关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组m为何值时，f(x)x22mx3m4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比1大【思路分析】二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程例4【解】(1)若函数 f(x)x22mx3m4 有且仅有一个零点，则等价于 4m24(3m4)0，即 4m212m160，即 m23m40.解得 m4 或 m1.(2)法一：方程思想若 f(x)有两个零点且均比1 大，设两个零点分别为 x1，x2，则 x1x22m，x1x23m4，故只需4m243m40 x11x210 x11x210m23m402m
11、203m42m10 m4或m1，m1，m5，故5m1，m 的取值范围是m|5m1法二：函数思想若 f(x)有两个零点且均比1 大，结合二次函数图象可知只需满足4m243m402m2 1f10m23m40m112m3m40m4或m1，m1，m5，故5m1，m 的取值范围是m|5m1【名师点评】本题为二次函数有关根的问题，常结合二次函数的图象及有关方程的知识解决方程根的问题也往往转化为相应的函数图象的交点问题，因而数形结合是常用的解法解：若 f(x)只有一个零点 x(0,1)，则00 b2a1，即4m243m400m1，方程无解若 f(x)有两个零点，其中有一个零点 x(0,1)，则 f(0)f(
12、1)0，即(3m4)(5m5)0，43m1.m 的取值范围为43m1.互动探究4 本例题改为：若f(x)有一个零点x(0,1),求m的取值范围方法技巧1作函数图象的一般步骤是：(1)求出函数的定义域；(2)化简函数式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊点、线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象2平移变换、对称变换和伸缩变换是三种常见的变换平移变换：“左加右减、上正下负”；伸缩变换：“纵伸横缩”；绝对值变换：“部分对折”方法感悟 3函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答
13、是否正确的重要工具，也是运用数形结合思想解题的前提从图象的左右分布分析函数的定义域；从图象的上下分布分析函数的值域；从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等4证明图象的对称性时应注意：(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上(2)证明曲线C1和C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然5函数零点的性质(1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函
14、数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点6函数零点的求法(1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值失误防范1函数图象的对称性中，yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)间的对称性易混淆yf(|x|)与y|f(x)|中绝对值号所起的作用易记错2函数图象的判断与识别要充分利用函数的性质解答有关问题时，常忘记有
15、关的函数性质，如对称性中易忘记从奇偶性的角度来考虑3若f(x)在(a，b)上是连续的，f(a)f(b)0是f(x)在(a，b)上有零点的充分不必要条件近几年的江苏高考对函数图象的考查主要集中在基本初等函数的认识和把握上，能识别、判断和应用图象解决问题是重点结合考查数形结合的思想方法是高考的必考内容之一，但形式不固定，可以在填空题或解答题中出现预测在2012年的江苏高考中，以数形结合解决问题仍然会成为考查的热点考向瞭望把脉高考 考情分析(2010年高考课标全国卷改编)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为_真题
16、透析 例【解析】当 P 在初始位置时，t0，d 2，所以错，当 P 开始逆时针方向运动，d 减小，所以正确【思路分析】对比各个图象或选取某些值检验【答案】【名师点评】函数图象的确定关键在于仔细读题，探寻变量的关系与联系规律，结合函数的一些取值变化情况来判断，要多种途径多种角度考虑问题，避免片面化造成错误解析：方程变形为 3x22x(12)x，令 y3x2，y(12)x.由图象可知有 2 个交点1方程2xx23的实数解的个数为_答案：2名师预测 解析：法一：(定性法)根据解一元高次不等式的“数轴标根法”可知，图象从右上端起，应有 a0；又由图象知f(x)0 的三个实根为非负数，据根与系数的关系知
17、bax1x2x30，即 b0.2已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则b的范围为_法二：(定量法)据图象知 f(0)0，f(1)0，f(2)0，d0abcd08a4b2cd0ab3c2b3，f(x)b3x3bx22b3 xb3x(x1)(x2)，当 x2 时，有 f(x)0，b0.法三：(模型函数法)构造函数 f(x)a(x0)(x1)(x2)ax3bx2cxd，即 ax33ax22axax3bx2cxd，b3ac2ad0，又由图象知 x2 时，f(x)0即 a0.b3a0，b(，0)答案：(，0)3已知函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0.若函数g(x)f(x)m 有 3
18、 个零点，则实数 m 的取值范围是_答案：(0,1)解析：函数 f(x)2x1，x0 x22x，x0的图象如图所示，该函数的图象与直线 ym 有三个交点时m(0,1)，此时函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点4设函数 f(x)13xlnx(x0)，下列四个结论，其中正确结论的序号是_f(x)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点f(x)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点f(x)在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点f(x)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：由题意得 f(1e)f(1)0 且 f(1)f(e)0，故正确答案：本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
