1、第1节 等差数列与等比数列考试要求 1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理 1.等差数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.(2)等差中项：如果，那么A叫做a与b的等差中项.2公差da，A，b成等差数列2.等差数列的通项公式及求和公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an，其前 n 项和是 Sn或 Sn.a1(n1)dn（a1an）2n
2、a1n（n1）2d3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(n，mN*).(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则.特别地，当 kl2m(k，l，mN*)时，则.(3)若an为等差数列，Sn 为前 n 项和，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为 n2d.(4)若等差数列an的前 n 项为 Sn，则Snn 也是等差数列.(nm)dakalamanakal2am4.等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系(1)通项公式：ana1(n1)ddn(a1d)，当 d0 时，等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数；当 d0 时，等差数列的通项公式是常
3、数函数.(2)求和公式：Snd2n2a1d2 n，当 d0 时，等差数列的前 n 项和公式是关于 n的二次函数，且常数项为 0；当 d0 时，等差数列的前 n 项和公式为 Snna1.5.等比数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q0).(2)等比中项：如果，那么G叫做a与b的等比中项.2公比qa，G，b成等比数列6.等比数列的通项公式及求和公式如果等比数列an的首项为 a1，公比为 q，那么它的通项公式是 an，其前 n 项和是 Sn，则(1)当 q1 时，Sn.(2)当 q
4、1 时，Sn或 Sn.a1qn1na1a1（1qn）1qa1anq1q7.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.特别地，当kl2m(k，l，mN*)时，则.(3)若an为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等比数列，公比为qn(当公比q1，n不能取正偶数).qnmakala2m常用结论与易错提醒 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等
5、差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.3.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.()解析(1)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(2)若公差d0，则前n项和不
6、是n的二次函数.(3)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)2.在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A.1B.0 C.1D.6 解析 由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.答案 B 3.已知公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()A.8B.9 C.10D.11 解析 由题意得2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10，故选C.答案 C 4.(2019全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.已知 S
7、40，a55，则()A.an2n5 B.an3n10C.Sn2n28nD.Sn12n22n解析 设首项为 a1，公差为 d.由 S40，a55 可得a14d5，4a16d0，解得a13，d2.所以an32(n1)2n5，Snn(3)n（n1）22n24n.故选 A.答案 A 5.(2020浙江“超级全能生”联考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为_里，
8、后三天一共走_里.解析 由题可知这六天中每天走的路程数组成公比为12的等比数列，设第一天走 x 里，则x1 126112378，解得 x192，即该人第一天走的路程是 192 里；后三天共走了 192 12319212419212542(里).答案 192 42 6.(2019 北京卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_.解析 设首项为a1，公差为d，a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令an0，则n5，即数列an中前4项为负，a50，第6项及以后为正.Sn的最小值为S4S510.答案 0 10
9、考点一 等差、等比数列基本量的运算【例 1】(1)(一题多解)(2018全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.若 3S3S2S4，a12，则 a5()A.12 B.10 C.10 D.12(2)(2019全国卷)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和.若 a113，a24a6，则 S5_.解析(1)法一 设等差数列an的公差为 d，3S3S2S4，33a1322 d 2a1d4a1432 d，解得 d32a1.a12，d3，a5a14d24(3)10.法二 设等差数列an的公差为 d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1322 dd.a12，d3，a5a14d
10、24(3)10.(2)由 a24a6 得(a1q3)2a1q5，整理得 q 1a13.所以 S5a1（1q5）1q13（135）131213.答案(1)B(2)1213规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn；等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn.已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)等差数列的基本量为a1，d；等比数列的基本量为a1，q.在运算过程中，常用基本量去表示未知量和已知量.【训练 1】(1)(2019全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.若 a10，a23a1，则S10S5 _.(2
11、)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a53a34a1，则 a3()A.16 B.8 C.4 D.2解析(1)设等差数列an的公差为 d，由 a10，a23a1，可得 d2a1，所以 S1010a11092d100a1，S55a1542 d25a1，所以S10S5 4.(2)设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.答案(1)4(2)C 考点二 等差、等比数列的性质【例 2】(1)设 Sn 是等差数
12、列an的前 n 项和，对 nN*且 n4 时有 S820，S2n1S2n9116，则 an()A.6 B.172C.39 D.78(2)(一题多解)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6()A.2 B.73C.83D.3解析(1)由题知 a1a2a820，且 S2n1S2n9a2n8a2n7a2n1116，故知 a1a2n1201168172an，所以 an172.(2)法一 由等比数列的性质及题意得 S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，由已知得 S63S3，S6S3S3S9S6S6S3，即 S9S64S3，S97S3，S9S673.法二 因为an为等比数列，由S6
13、S33，设 S63a，S3a，所以 S3，S6S3，S9S6 为等比数列，即 a，2a，S9S6 成等比数列，所以 S9S64a，解得 S97a，所以S9S67a3a73.答案(1)B(2)B 规律方法 利用等差、等比数列的性质可简化运算.【训练 2】(1)在各项均为正数的等比数列an中，a3 21，a5 21，则 a232a2a6a3a7_.(2)(一题多解)(2019江苏卷)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn 是其前 n 项和.若a2a5a80，S927，则 S8 的值是_.解析(1)由等比数列性质得 a3a7a25，a2a6a3a5，所以 a232a2a6a3a7a232a3a5a2
14、5(a3a5)2(21 21)2(2 2)28.(2)法一 由 S9279（a1a9）227a1a962a56a53，即 a14d3.又a2a5a802a15d0，解得 a15，d2.故 S88a18（81）2d16.法二 同法一得a53.又a2a5a803a2a802a22a50a23.da5a232，a1a2d5.故 S88a18（81）2d16.答案(1)8(2)16 考点三 等差、等比数列的判定与证明【例3】(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式
15、.(1)证明 由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn112(anbn).又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列.由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列.(2)解 由(1)知，anbn 12n1，anbn2n1，所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.规律方法(1)等差数列的四种判断方法：定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 anan1 为同一常数.等差中项法：验证 2an1anan2(
16、n3，nN*)都成立.通项公式法：验证 anpnq.前 n 项和公式法：验证 SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.(2)判断、证明等比数列一般用定义式和等比中项，即用an1an q(q 为不等于 0 的常数，nN*)，a2n1anan2(数列an各项均不为零).【训练 3】(2018全国卷)已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bnann.(1)求 b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.解(1)由条件可得 an12（n1）nan.将n1代入得，a24a1，而a
17、11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：由条件可得 an1n12ann，即 bn12bn，又 b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得ann 2n1，所以 ann2n1.考点四 等差数列最值问题【例4】(1)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5B.6 C.7D.8(2)已知等差数列16，14，12，的前n项和为Sn，且Sn0，则n的最大值为_.解析(1)法一 由S3S11，得a4a5a110，根据等差
18、数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，即n217n0，解得 0n0 且a6a5 911，则当 Sn 取最大值时，n 的值为()A.9 B.10 C.11 D.12(2)已知数列an是等差数列，Sn 是其前 n 项和，若 Sn 存在最大值，则在 S1，S22，S33，S20182 018中最大的数是()A.S1B.S20142 014C.S20182 018D.无法确定解析(1)由a6a5 911，得 S11S9，即 a10a110，根据首项 a10 可推知这个数列递减，从而 a100，a110，故 n10 时，Sn 最大.(2)由题意可知数列an是等差数列，且前 n 项和 Sn 存在最大值，公差 d0，Snnd2na1d2在定义域上是单调递减函数，S1 最大.答案(1)B(2)A
