1、课时规范练30等差数列及其前n项和基础巩固组1.(2020河南开封三模,理3)已知Sn为等差数列an的前n项和,若S5=4a2,则a7=()A.-2B.0C.2D.102.(2019全国1,理9)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n3.(2020河北沧州一模,理3)已知等差数列an的前n项和为Sn,a3=7,S3=9,则a10=()A.25B.32C.35D.404.已知等差数列an的首项a1=2,前n项和为Sn,若S8=S10,则a18=()A.-4B.-2C.0D.25.(2020
2、陕西宝鸡三模,文5)将正奇数排成一个三角形阵,按照如图排列的规律,则第15行第3个数为()135791113151719A.213B.215C.217D.2196.(2020北京,8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an,nN+,则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项7.(2020安徽安庆二模,理14)在等差数列an中,a2+2a16a11,nN*),则()A.a4=7B.S16=240C.a10=19D.S20=38111.(2020山东潍坊二模,6)周髀算经是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法
3、”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,.生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100岁),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为()A.94B.95C.96D.9812.设等差数列an的前n项和为Sn,且a10,a3+a100,a6a70的最大自然数n的值为.13.(2020陕西二模,文17)在等差数列an中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)求a3+a6+a9+a3n.创新应用
4、组14.(2020全国2,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块15.等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.16.对于由正整数构成的数列An,若对任意m,nN+且mn,Am+An也是An中的项,则称An为“Q数列”.设数列an满足a
5、1=6,8a212.(1)请给出一个an的通项公式,使得an既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由;(2)根据你给出的通项公式,设an的前n项和为Sn,求满足Sn100的正整数n的最小值.参考答案课时规范练30等差数列及其前n项和1.B由S5=4a2,得5a1+10d=4a1+4d,即a1+6d=0,所以a7=0.2.A由题意可知,S4=4a1+432d=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.3.C设等差数列an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=7,S3=3a1+3d=9,解得a1=-1,d=4,an=4n-5,a10=410-
6、5=35.故选C.4.B设等差数列an的公差为d,由S8=S10,得a9+a10=0,所以2a1+17d=0,且a1=2,所以d=-417,得a18=a1+17d=2+17-417=-2.故选B.5.B由题意知,在三角形数阵中,前14行共排了1+2+3+14=14(1+14)2=105个数,则第15行第3个数是数阵的第108个数,即所求数字是首项为1,公差为2的等差数列的第108项,则a108=1+(108-1)2=215.故选B.6.B由题意知,公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,则an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)2=2n-11,可知数列an是单调递增数列,且前5项为负值
7、,自第6项开始为正值.可知T1=-90,T3=-3150为最大项,自T5起均小于0,且逐渐减小.所以数列Tn有最大项,无最小项.7.16方法1:设等差数列an的公差为d,由a2+2a16a13a11,得31d-2a10,a16+a17=2a1+31d0,即a17-a160,所以n=16时,Sn取得最大值.方法2:设公差为d,由a2+2a16a13a11,得31d-2a130d,故d0,且15-a1d1,nN*),则Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),两式相减,得an+2+an=2an+1,且当n=2时,解得a3=4,所以数列an是首项为2,公差d=4-2=2的等差数列.所以an=2+2(n-2
8、)=2n-2,所以an=1,n=1,2n-2,n2,故S16=a1+a2+a16=1+15(2+30)2=241.a4=24-2=6.a10=210-2=18.S20=a1+a2+a20=1+19(2+38)2=381.故选项D正确.11.B根据题意可知,这20位老人年龄之和为1520岁,设年纪最小者年龄为n,年纪最大者年龄为m,m90,100,则有n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m=19n+171+m=1520,则有19n+m=1349,则m=1349-19n,所以901349-19n100,解得651419n66519,因为年龄为整数,所以n=66,则m=1349-1966=95
9、.故选B.12.12设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.a6+a7=a3+a100,即2a1+11d0,且a6a70,a60,a70.d=a7-a60.又a7=a1+6d0,2a1+12d0时,2a1+(n-1)d0.由2a1+11d0,2a1+12d0知n-1最大为11,即n最大为12.13.解(1)因为an是等差数列,a1+a3=12,a2+a4=18,所以2a1+2d=12,2a1+4d=18.解得a1=3,d=3.则an=3+(n-1)3=3n,nN*.(2)a3,a6,a9,a3n构成首项为a3=9,公差为9的等差数列.则a3+a6+a9+a3n=9n+12n(n-
10、1)9=92(n2+n).14.C由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+272629=3402.故选C.15.-49由Sn=na1+n(n-1)2d得10a1+45d=0,15a1+105d=25,解得a1=-3,d=23,则Sn
11、=-3n+n(n-1)223=13(n2-10n),所以nSn=13(n3-10n2),令f(x)=13(x3-10x2),则f(x)=x2-203x=xx-203,当x1,203时,f(x)单调递减,当x203,+时,f(x)单调递增,又因为62037,f(6)=-48,f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49.16.解(1)给出的通项公式为an=2n+4.因为对任意nN*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,所以an是公差为2的等差数列.对任意m,nN*且mn,am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2,所以an是“Q数列”.(2)因为an是等差数列,所以Sn=n(6+2n+4)2=n2+5n(nN*).因为S7=72+57=84100,所以n的最小值为8.注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容,an=3n+3,Sn=32n2+92n,n的最小值为7;an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6.