1、阶段一阶段二学业分层测评阶段三2.3 数学归纳法23.1 数学归纳法23.2 数学归纳法应用举例1了解数学归纳法的原理(重点、易混点)2掌握数学归纳法的步骤(难点)3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(难点)基础初探教材整理 数学归纳法阅读教材 P69P72，完成下列问题数学归纳法的定义一个与_相关的命题，如果(1)_；(2)在假设当_时命题也成立的前提下，推出当 nk1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立【答案】自然数(1)当 n 取第一个值 n0时命题成立(2)nk(kN，且 kn0)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数 n 有关的数学
2、命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式 123(n3)n3n42(nN)时，第一步验证 n1 时，左边应取的项是()A1 B12C123D1234(2)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(n N)，“从 k 到 k1”左端增乘的代数式为_.【导学号：05410051】【自主解答】(1)
3、当 n1 时，左边应为 1234，故选 D.(2)令 f(n)(n1)(n2)(nn)，则 f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以fk1fk 2k12k2k12(2k1)【答案】(1)D(2)2(2k1)数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.2递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明 nk1 成立时，一定要利用
4、归纳假设，即必须把归纳假设“nk 时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写 f(k1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法再练一题1下面四个判断中，正确的是()A式子 1kk2kn(nN)中，当 n1 时，式子的值为 1B式子 1kk2kn1(nN)中，当 n1 时，式子的值为 1kC式子 1121312n1(nN)中，当 n1 时，式子的值为 11213D设 f(n)1n1 1n213n1(nN)，则 f(k1)f(k)13k213k313k4【解析】A 中，n1 时，式子1k；B 中，n1 时，式
5、子1；C 中，n1 时，式子11213；D 中，f(k1)f(k)13k213k313k4 1k1.故正确的是 C.【答案】C用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式 1n1 1n2 1nn1324(n2，n N)的过程中，由 nk 推导 nk1 时，不等式的左边增加的式子是_(2)证明：不等式 1 12 13 1n2 n(nN)【精彩点拨】(1)写出当 nk 时左边的式子，和当 nk1 时左边的式子，比较即可(2)在由 nk 到 nk1 推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度【自主解答】(1)当 nk1 时左边的代数式是 1k2 1k312k112k2，增加了两项12k1
6、与12k2，但是少了一项 1k1，故不等式的左边增加的式子是12k112k2 1k112k12k2.【答案】12k12k2(2)当 n1 时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立假设当 nk(k1 且 kN)时，不等式成立，即 1 12 13 1k2 k.则当 nk1 时，1 12 13 1k1k12 k1k12 k k11k11324.假设当 nk(k2 且 kN)时不等式成立，即 1k1 1k2 12k1324，那么当 nk1 时，1k2 1k312k1 1k2 1k3 12k12k112k2 1k1 1k11k1 1k2 1k3 12k 12k112k2 1k1132412k112k2
7、1k1132412k112k21324122k1k11324.这就是说，当 nk1 时，不等式也成立由可知，原不等式对任意大于 1 的正整数都成立归纳猜想证明 已知数列an的前 n 项和为 Sn，其中 anSnn2n1且 a113.(1)求 a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明【精彩点拨】(1)令 n2,3 可分别求 a2，a3.(2)根据 a1，a2，a3的值，找出规律，猜想 an，再用数学归纳法证明【自主解答】(1)a2S22221a1a26，a113，则 a2 115，类似地求得 a3 135.(2)由 a1 113，a2 135，a3 157，猜得：an12n12n1.证明
8、：当 n1 时，由(1)可知等式成立；假设当 nk 时猜想成立，即 ak12k12k1，那么，当 nk1 时，由题设 anSnn2n1，得 akSkk2k1，ak1Sk1k12k1，所以 Skk(2k1)akk(2k1)12k12k1k2k1，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1k2k1.因此，k(2k3)ak1k2k1，所以 ak112k12k312k112k11.这就证明了当 nk1 时命题成立由可知命题对任何 nN都成立1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和(2)由一些恒等式、不等式改编的
9、一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般性命题再练一题3已知函数 yf(n)(nN)，设 f(1)2，且任意的 n1，n2N，有 f(n1n2)f(n1)f(n2)(1)求 f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想 f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明【解】(1)因为 f(1)2，f(n1n2)f(n1)f(n2)，所以 f(2)f(11)f(1)f(1)224，f(3)f(21)f(2)f(1)222238.f(4)f(31)f(3)f(1)2322416.(2)猜想：f(n)2n(nN)用数学
10、归纳法证明如下：当 n1 时，f(1)212，所以猜想正确假设当 nk(k1，kN)时猜想正确，即 f(k)2k，那么当 nk1 时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，所以，当 nk1 时，猜想正确由知，对任意的 nN，都有 f(n)2n.探究共研型用数学归纳法证明整除性问题探究 1 数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1?【提示】不一定，如证明 n 边形的内角和为(n2)180时，第一个值为n03.探究 2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出
11、不正确的结论因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即 n 取 n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了 用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被 9 整除(nN)【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑【自主解答】(1)当 n1 时，13233336 能被 9 整除，所以结论成立；(2)假设当 nk(kN，k1)时结论成立，即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除则当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k
12、3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除，9(k23k3)也能被 9 整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被 9 整除，即 nk1 时结论也成立由(1)(2)知命题对一切 nN成立与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将 nk1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.再练一题4用数学归纳法证明“n35n 能被 6 整除”的过程中，当 nk1 时，对式子(k1)35(k1)应变形为_【解析】由 nk 成立推证 nk1 成立时必须用上归纳假设
13、，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.【答案】(k35k)3k(k1)6构建体系1用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中 n0的取值应为()A1 B2C3D4【解析】边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n03.【答案】C2用数学归纳法证明 1aa2an11an21a(nN，a1)，在验证n1 成立时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3【解析】当 n1 时，n12，故左边所得的项为 1aa2.【答案】B3用数学归纳法证明关于 n 的恒等式时，当 nk 时，表达式为 1427k(3k1)k(k1)2，则当 nk1 时，表达式为_.【导学号：
14、05410052】【解析】当 nk1 时，应将表达式 1427k(3k1)k(k1)2中的 k 更换为 k1.【答案】1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)24以下是用数学归纳法证明“nN时，2nn2”的过程，证明：(1)当 n1 时，2112，不等式显然成立(2)假设当 nk(kN)时不等式成立，即 2kk2.那么，当 nk1 时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当 nk1 时不等式也成立根据(1)和(2)，可知对任何 nN 不等式都成立其中错误的步骤为_(填序号)【解析】在 2k122k2k2kk2k2k22k1 中用了 k22k1，这是一个不确定的结论
15、如 k2 时，k22k1.【答案】(2)5用数学归纳法证明：对于任意正整数 n，(n21)2(n222)n(n2n2)n2n1n14.【证明】(1)当 n1 时，左边1210，右边12111140，所以等式成立(2)假设当 nk(kN)时等式成立，即(k21)2(k222)k(k2k2)k2k1k14.那么当 nk1 时，有(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)k2k1k14(2k1)kk1214k(k1)k(k1)2(2k1)14k(k1)(k23k2)k12k11k114.所以当 nk1 时等式成立由(1)(2)知，对任意 nN等式成立我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评 点击图标进入
