[32452888]14、微专题：余弦定理及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：余弦定理及其应用余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即；，；余弦定理的变形：；【典例】题型1、已知两边及夹角解三角形例1、在ABC中，已知a2，b2，C15，解此三角形。【提示】；【解析】方法1、方法2、【说明】通过本题说明：已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解

2、较好；题型2、已知两边及一边对角解三角形例2、在ABC中，已知b3，c3，B30，求A、C和a。【提示】；【解析】方法1、；方法2、；【说明】通过本题说明：已知两边及其中一边的对角解三角形：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边；题型3、已知三边解三角形例3、在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.题型4、判断三角形形状例4、（1）在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状；（2）在

3、ABC中，若B60，b2ac，判断ABC的形状；（3）在ABC中，若g sin Alg cos Blg sin Clg 2，判断ABC的形状；【归纳】1、记牢【1】个定理文字语言三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos Ab2c2a22cacos Bc2a2b22abcos C2、掌握【2】种结论（1）在ABC中，cos A，cos B，cos C；（2）设c是ABC中最大的边（或C是ABC中最大的角），则a2b2c2ABC是锐角三角形，且角C为锐角；3、关注【3】个应用（1）已知三角形的两边与一角，解三角形（2）已知三边解三

4、角形（3）利用余弦定理判断三角形的形状4、注意二个易错点（1）正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单；（2）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件；【即时练习】1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D2、在ABC中，角A，

5、B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(AB)，则c等于()A4 B C3 D3、已知在ABC中，a2，b4，C60，则A_.4、在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为 5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cos B 6、若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为 7、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若B60，c2，b2，则a_.8、已知是三边长，若满足，则 9、已知在ABC中，abc2(1)，求ABC各角的度数10、已知a7，b3，c5，求ABC的最大角和si

6、nC；【教师版】微专题：余弦定理及其应用余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即；，；余弦定理的变形：；【典例】题型1、已知两边及夹角解三角形例1、在ABC中，已知a2，b2，C15，解此三角形。【提示】注意：余弦定理的先求“对边”；【解析】因为，c2a2b22abcos C(2)2(2)2222cos(4530)84()2，所以，c；方法1、由余弦定理的推论，得cos A；因为，0A180，所以，A45，从而B120；方法2、由正弦定理得：sin A.因为，ab，所以，AB.又0A180，则A必为锐角，所以，A45，从而得B120；【说

7、明】通过本题说明：已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好；题型2、已知两边及一边对角解三角形例2、在ABC中，已知b3，c3，B30，求A、C和a。【提示】由于，题设中含“b3， B30”，可以考虑利用：正弦、余弦定理解之；注意：解题体验，寻找适合你的方法；【解析】方法1、由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a

8、3cos 30，所以， a29a180，得a3或6.当a3时，A30，所以，C120；当a6时，由正弦定理得sin A1，所以，A90，则C60；方法2、由bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin C，所以，C60或120，当C60时，A90，ABC为直角三角形；由勾股定理得a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，所以，a3；【说明】通过本题说明：已知两边及其中一边的对角解三角形：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边；题

9、型3、已知三边解三角形例3、在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.【提示】本题是典型的利用余弦定理解三角形；【答案】A；B；C；【解析】根据余弦定理得cos A；因为，A(0，)，所以，A，又cos C，又因为，C(0，)，所以，C，所以，BAC，所以，A，B，C；【说明】通过本题说明：已知三角形的三边解三角形的方法：1、先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；2、利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角；题型4、判断三角形形状例4、（1）在ABC中，若(accos B)s

10、in B(bccos A)sin A，判断ABC的形状；（2）在ABC中，若B60，b2ac，判断ABC的形状；（3）在ABC中，若g sin Alg cos Blg sin Clg 2，判断ABC的形状；【提示】注意：利用正弦、余弦定理进行“边、角”互化；【解析】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为：ba，整理，得(a2b2c2)(a2b2)0，所以，a2b2c20或a2b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形；（2）因为，b2ac，B60，由余弦定理b2a2c22accos B，得a2c2acac，即(ac)20，所以，ac.又B60，所以，ABC为等边三角形；（3）由条件得2，即2

11、cos Bsin Csin A，由正、余弦定理，得2ca，所以，cb，故ABC为等腰三角形，【说明】从本题的变式中，通过比较、归纳；得：1、判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，即把条件中的“边角关系”利用正弦定理或余弦定理转化为“边边关系”进行判断；也可以从三个角的关系入手，即把条件转化为角与角的关系，结合内角和定理作出判断；2、判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别；【归纳】1、记牢【1】个定理文字语言三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos Ab2c2a22cacos Bc2a2b22

12、abcos C2、掌握【2】种结论（1）在ABC中，cos A，cos B，cos C；（2）设c是ABC中最大的边（或C是ABC中最大的角），则a2b2c2ABC是锐角三角形，且角C为锐角；3、关注【3】个应用（1）已知三角形的两边与一角，解三角形（2）已知三边解三角形（3）利用余弦定理判断三角形的形状4、注意二个易错点（1）正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单；（2）利用余弦定理求三角形的边长时容易

13、出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件；【即时练习】1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D【答案】B；【解析】由余弦定理得cos A，所以，所以，c22c，c2或c1(舍)；2、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(AB)，则c等于()A4 B C3 D【答案】D；【解析】由cos(AB)，所以，cos C，所以，c2a2b22abcos C9423217，所以，c；故选D；.3、已知在ABC中，a2，b4，C60，则A_.【答案】30；【解析】由余弦定理得，c2a2b22abcos C224222412，所以，c2.由正弦定理得，sin A.因为，0A0)由余弦定理，得cos A，A45.cos B，B60.C180AB180456075.10、已知a7，b3，c5，求ABC的最大角和sinC；【解析】acb，A为最大角由余弦定理，得cos A.又0A180，A120，sin A.由正弦定理，得sin C.