1、2020年天津市十二区县重点中学高三毕业联考(一)数学试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第卷选择题(共45分)参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A,B相互独立,那么P(AB)P(A)P(B)柱体的体积公式VSh,其中S表示柱体的底面面积,h表示柱体的高锥体的体积公式VSh,其中S表示锥体的底面面积,h表示锥体的高 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知a,bR,若a2i(i是虚数单位),则复数abi是()A12i B12iC2i D2i2设R,
2、则“0”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件3已知函数f(x)lnxx2ax.若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y2x平行,则实数a()A. B2 C. D14在ABC中,B90,AB3,BC4,以边BC所在的直线为轴,将ABC旋转一周,所成的曲面围成的几何体的体积为()A36 B12 C36 D125为普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试,这些学生的成绩(分)的频率分布直方图如图所示,数据(分数)的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100若分数在区间20,40)的频数为5,则大于等于60
3、分的人数为()A15 B20 C35 D456已知函数f(x)2x5x.若af,bf(log3),cf(60.2),则a,b,c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba7已知函数f(x)sin(x)(0,|b0)的两条渐近线与圆x2y210相交于A,B,C,D四点,若四边形ABCD的面积为12,则双曲线的离心率是()A. B.C.或 D29在等腰梯形ABCD中,ABCD,BAD60,AB8,CD4.若M为线段BC的中点,E为线段CD上一点,且27,则()A15 B10 C. D5第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在相应的横线上)10已
4、知集合A2,2m,Bm,n,(m,nR),且AB,则AB_11在的展开式中,x5项的系数为_(用数字作答)12设a0,b0,若a与b2的等差中项是2,则log2a2log2b的最大值是_13已知圆C:(x1)2(y1)216,过点P(2,3)的直线l与C相交于A,B两点,且|AB|2,则l的方程为_14天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且对这三个问题回答正确与否互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率
5、是,则p_;在前述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的数学期望为_15已知函数f(x)若存在xR使得关于x的不等式f(x)ax1成立,则实数a的取值范围是_三、解答题(本大题共5小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asincsinA,c,2a3b.(1)求角C的大小;(2)求sin(CB)的值17(本小题满分15分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1,BB1C1C均为正方形,且A1B1B1C1,M为CC1的中点,N为A1B的中点(1)求证:MN平面ABC;(2)
6、求二面角BMNB1的正弦值;(3)设P是棱B1C1上一点,若直线PM与平面MNB1所成角的正弦值为,求的值18(本小题满分15分)已知抛物线C:y24x的焦点为椭圆E:1(ab0)的右焦点,C的准线与E交于P,Q两点,且|PQ|2.(1)求E的方程;(2)过E的左顶点A作直线l交E于另一点B,且BO(O为坐标原点)的延长线交E于点M,若直线AM的斜率为1,求l的方程19(本小题满分15分)设an是等比数列,bn是等差数列已知a48,a3a22,b1a2,b2b6a5.(1)求an和bn的通项公式;(2)设cn其中mN*,求数列cn的前2n项和20(本小题满分16分)已知函数f(x)xmlnx1
7、(mR)在x1处取得极值A,函数g(x)f(x)ex1x,其中e2.718 28是自然对数的底数(1)求m的值,并判断A是f(x)的最大值还是最小值;(2)求g(x)的单调区间;(3)证明:对于任意正整数n,不等式e成立数学答案1B命题立意本题考查复数的乘法运算、复数相等解析a2i,(a2i)ibi,2aibi,b2,a1,abi12i,故选B.2A命题立意本题考查充分、必要条件的判定解析当时,有00;反之不成立,“0”的充分不必要条件,故选A.3D命题立意本题考查导数的几何意义解析f(x)lnxx2ax,f(x)2xa,f(1)3a,切线与y2x平行,3a2,a1,故选D.4B命题立意本题考
8、查圆锥的体积解析由题意知几何体为圆锥,底面半径r3,高h4,体积Vr2h12,故选B.5C命题立意本题考查频率分布直方图解析由图可得(a0.010.020.015)201,a0.005,分数在20,40)的频数为5,共抽取学生50人,则大于等于60分的人数为50(0.020.015)2035,故选C.6D命题立意本题考查函数单调性的应用解析loglog32log3160.2,f(x)2x5x在R上单调递增,ff(log3)ba,故选D.7C命题立意本题考查正弦型函数的图象性质解析f(x)sin(x)的最小正周期为,2.又f(x)的图象关于x对称,2k,kZ,k,kZ.又|b0,e,故选A.9D
9、命题立意本题考查向量的数量积解析过D作DOAB于O,以O为原点,AB所在直线为x轴建立如图直角坐标系,等腰梯形ABCD中,ABCD,BAD60,AB8,CD4,AO2,DO2,A(2,0),B(6,0),D(0,2),C(4,2),M(5,)设E(x,2),(7,)(x2,2)7(x2)627,x1,E(1,2),(5,)(1,0)5,故选D.10.命题立意本题考查集合的交集、并集运算解析A2,2m,AB,2m,m2,又Bm,n,n,AB.1180命题立意本题考查二项展开式中的特定项的系数解析展开式的通项为Tr1Cr5(2x2)r(2)rCr5x,令5,r3,x5的系数为(2)3C3580.1
10、22命题立意本题考查基本不等式解析由题意知ab24,又a0,b0,log2a2log2blog2ab2log22,当且仅当ab22时等号成立,log2a2log2b的最大值为2.13x2y80命题立意本题考查直线与圆的位置关系、直线的方程解析当直线的斜率不存在时,x2代入圆的方程得y1,|AB|22,不合题意,故直线的斜率存在,设直线方程为y3k(x2),则1116,解得k,直线方程为y3(x2),即x2y80.14.命题立意本题考查独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列、期望解析甲恰好答对3个问题的概率p,p,X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X0),P(X1),P(X2),P(
11、X3),E(X)0123.15(,3(0,)命题立意本题考查分段函数、存在性问题求参数的取值范围解析当x0时,f(x)ax1等价于x2xax1即axx2x1,当x0时,不成立;当x0时f(x)ax1等价于2ax1,即xR,a成立,10,a0.综上a0或a3.16命题立意本题考查正、余弦定理、两角差的正弦公式解题思路(1)利用正弦定理将已知转化为角的关系式,结合三角形内角和定理得sinC,从而求得角C;(2)由余弦定理求得a,b边,再利用正弦定理求得sinB,由bc,得BC,即B是锐角,求得cosB代入两角差的正弦公式即可解(1)由题设及正弦定理,得sinAsinsinCsinA.在ABC中,因
12、为sinA0,所以sinsinC,由于ABC,从而sincos,所以cos2sincos.在ABC中,因为0,所以cos0,所以sin,所以,即C.(2)在ABC中,由于c,C,则由余弦定理,得7a2b22abcos,即a2b2ab7.因为2a3b,所以b2b27,解得b2,a3.在ABC中,由正弦定理,得sinB,因为ABC中,b2c,且C,所以0B0,所以2,xB为方程(*)的实数根,从而2xB,所以xB.所以yBk(xB2)k.由题意,点B,M均在E上,且B,M关于原点O对称,所以点M(xB,yB),即M.所以kAM1,所以1,解得k.故所求直线l的方程为y(x2),即x2y20.方法2
13、:由题意,得E的左顶点A(2,0),直线AM的斜率为1,所以直线AM的方程为yx2.联立方程组消去y并整理,得3x28x40.解得x2,或x.所以点M的横坐标xM(因为2为点A的横坐标),所以点M的纵坐标yM,从而点M.由题意,点B,M均在E上,且B,M关于原点O对称,所以点B的坐标为,所以kAB.所以直线AB的方程为y(x2),即所求直线l的方程为x2y20.19命题立意本题考查等差、等比数列的通项公式、分组求和、错位相减求和解题思路(1)解方程组分别求得a1、q和b1、d.得an、bn的通项公式;(2)将cn分为奇数项和偶数项分别求和、奇数项利用错位相减法求和,偶数项利用等差数列前n项和公
14、式求和解(1)设等比数列an公比为q,由a48,a3a22,得消去a1并整理,得q24q40,解得q2,从而a11.所以an2n1;设等差数列bn的公差为d,由b1a2,b2b6a5,得解得所以bn2(n1)22n.(2)由(1)及题意,得cn其中mN*.当n为奇数时,不妨设数列n2n的前n项和为S奇,所以S奇c1c3c5c2n1,即S奇12323525(2n1)22n1,所以4S奇123325527(2n3)22n1(2n1)22n1,上述两式相减,得3S奇2223225222n1(2n1)22n12(2n1)22n122n1,所以S奇22n1.当n为偶数时,易得,数列2n1前n项和为S偶5
15、913(4n1)2n23n.设cn的前2n项和为T2n则T2nS奇S偶22n12n23n.20命题立意本题考查利用导数求函数的极值、最值、单调区间、不等式证明解题思路(1)对f(x)求导,利用f(1)0求得m,代回解不等式得f(x)的单调区间,从而得极值;(2)对g(x)求导,判正负得单调区间;(3)利用(1)中结论x1lnx(x1),令x1(nN*),累加即可得证解(1)因为f(x)xmlnx1(x(0,),所以f(x)1(x(0,)因为x1是f(x)的极值点,所以f(1)0,即10,所以m1.此时f(x)xlnx1,f(x)1,(x(0,)易得,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,所以函
16、数f(x)在区间(0,1)上单调递减;在区间(1,)上单调递增,所以函数f(x)在x1处的极值A是最小值(2)由(1)知,m1,所以g(x)ex1lnx1,且x(0,),所以g(x)ex1.设h(x)ex1(x(0,),则h(x)ex1.显然,当x0时,h(x)0恒成立,所以函数h(x)在x(0,)上单调递增,且h(1)0.所以,当0x1时,h(x)0,即g(x)1时,h(x)0,即g(x)0.所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,)(3)证明:由(1)可知,当x1时,f(x)f(1)0,即x1lnx.不妨令x1(nN*),则有ln(nN*)所以lnlnln11,即ln1lne.因为函数ylnx在区间(1,)上单调递增,所以e(得证)