1、第6章 计数原理知识清单一、乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，做第个步骤有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称乘法原理二、加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称加法原理三、加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，
2、使用分步计数原理【注意】应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.四、排列：一般地，从个不同元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。五、排列数：从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数。用符号表示。六、排列数公式：当时，正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。规定0！=1。七、附有限制条件的排列（1）对
3、附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置，从该元素入手；元素相邻捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向间接法.八、组合数：从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符合表示.组合数公式为,规定.组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于
4、证明恒等式。九、组合数的性质：性质一：C=C等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标.此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.例如=2016.或性质二、=+等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数此性质作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用证明过程：.十、组合问题常见解题方法：（1）注意“至少”、“最多”、“含”等词；（2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不
5、同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分组，则分法取法/（3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题.（4）分排问题直排处理；（5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理；（6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.十一、二项式定理：公式，叫做二项式定理。其中叫做二项式系数；公式右边的多项式叫做的二项展开式；叫做二项展开式的通项，它表示第项；二项式系数与数字系数的积叫做项的系数。二项展开式的特性如下：（1）系数规律：；（2）项数规律：二项和的次幂的展开式共有个项.（3）指数规律：各
6、项的次数均为；二项展开式中的次数由降到0，的次数由0升到，与指数之和为.（4）求常数项、项的系数或者有理项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 .十二、二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和十三、二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，其中可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即）直线（为偶数）是图象的对称轴（2）增减性与最大值： （中间一项或两项最大）,若为偶数，中间一项（第1项）的二项
7、式系数最大；若为奇数，中间两项（第和1项）的二项式系数最大.（3）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来（4）各二项式系数和：奇数项（偶数项）二项式系数和：.十四、二项展开式的系数的性质： （1） （2）（3） （4） （5）十五、二项式定理中的常用思想方法：（1）证明组合恒等式常用赋值法。（2）求二项展开式的项（指定项，具有某种性质的项）一般用二项展开式的通项公式，通常是先根据已知条件求，再求，有时需先求，再求，才能求出。（3）研究二项展开式的系数和、二项式系数和的问题，常通过赋值的方法整体处理，特别要注意区分二项展开式
8、的系数和与二项展开式的二项式系数和的差别。（4）二项式定理作为“母体”，可以生成很多的组合恒等式，在进行组合数和式研究时要注意其与二项式定理的关系，能正向、逆向地运用二项式定理。关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法。（5）有些三项式展开式的问题，可以通过变形转化成二项式问题，这种转化体现了数学化归的思想方法，要掌握化归的基本技能。（6）近似计算要首先观察精确度，然后选取若干项逼近近似计算的要求。用二项式定理证明整除性问题或余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”（蕴含目标意识）、“消除法”（配合整除的有关知识）来解决，还有不等式证明中目标导向与“放缩法”，这些问题的解法中体现的数学思想很重要，并且有一般的思维价值。
