1、第十章圆锥曲线与方程第二讲双曲线练好题考点自测1.给出以下关于双曲线的命题:双曲线y29-x24=1的渐近线方程是y=23x;若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,则此双曲线的离心率e=2;若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上;等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2;若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与y2b2-x2a2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线).以上说法正确的个数是()A.1B.2C
2、.3D.42.2016全国卷,5,5分理已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3) D.(0,3)3.2019全国卷,10,5分理双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.324.2020全国卷,8,5分理设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.3
3、25.2021大同市调研测试如图10-2-1,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为 ()图10-2-1A.-2+2157B.43C.2+2157D.326.2018天津,7,5分理已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23
4、-y29=1D.x29-y23=17.2020北京,14,5分已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.8.2020全国卷,15,5分理已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.拓展变式1.(1)2020广东七校第一次联考P是双曲线C:x22-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为()A.1B.2+155C.4+155D.22+1(2)2020全国卷,11,5分理
5、设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.82.2017天津,5,5分理已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=13.2020成都三诊已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且6
6、F1AF24,则该双曲线离心率的取值范围是()A.5,13B.5,3C.3,13D.7,3答 案第二讲双曲线1.D对于,双曲线y29-x24=1的渐近线方程应是y=32x,故不正确;对于,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3-0)2-(2-2)2+(3-0)2|=2,a=1,从而离心率e=2,所以正确;对于,F(c,0),B(0,b),FB的中点坐标(c2,b2)不满足双曲线的渐近线方程y=bax,所以正确;对于,由等轴双曲线的性质可得正确;对于,由共轭双曲线的性质可知正确.故选D.2.A解法一因为双曲线x2m2+n-y23m2-n=1两焦点之间的距离为4,则:当
7、焦点在x轴上时,22=m2+n+3m2-n,3m2-n0,m2+n0,解得m2=1,-1n3;当焦点在y轴上时, 22=-m2-n-3m2+n,3m2-n0,m2+n0,无解.综上,-1n0,|m2+n+3m2-n|=4,化简可得(m2+n)(3m2-n)0,m2=1,则-1n1,所以e=2+2157,故选C.6.C解法一因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c,因为d1+d2=6,所以bc-b2c+
8、bc+b2c=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,即ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.解法二由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,所以ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.7.(3,0)3双曲线C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,c=3,则C的右焦点的坐
9、标为(3,0),C的渐近线方程为y=36x,即x2y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=33=3.8.2设B(c,yB),因为B为双曲线C:x2a2-y2b2=1上的点,所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因为AB的斜率为3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e=ca=2.1.(1)D设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三
10、点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D.(2)A解法一设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则由双曲线的定义得m-n=2a.由题意得SPF1F2=12mn=4,且m2+n2=4c2,又e=ca=5,所以a=1,故选A.解法二(结论解法)由题意及双曲线焦点三角形的结论(详见主书P207【思维拓展】(4),得SPF1F2=b2tan45=4,得b2=4,又c2a2=5,c2=b2+a2,所以a=1.2.B由e=2知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为(-4,0),所以c=4,则a2=b2=c22=8.故选B.3. A不妨设A在第一象限,将x=c代入y=bax得A(c,bca),所以tanF1AF2=2cbca=2abtan6,tan4,即332ab1,即134a2b211b24a231c2-a24a23114e2-1435e2135e13.故选A.
