1、专题20排列组合复习与检测学习目标1.掌握加法原理2.掌握乘法原理3.排列数公式4.组合数公式知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性
2、和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5排列数公式：特别提醒：（1）规定0! = 1（2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,.an其中限重复数为n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 则S的排列个数等于.例如：已知数字3、2、2，求其排
3、列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.7组合数公式：8两个公式：例题分析例1新冠防疫期间，某街道需要大量志愿者协助开展防疫工作.某学校有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个社区协助防疫工作，每个社区男女教师各1名，则不同的安排方式种数是（ ）A18B36C48D72【答案】B【详解】先安排男教师、再安排女教师，各有中安排方式，故不同的安排方式共有种.故选：B例2第三方检测机构又称公正检验，指两个相互联系的主体之外的某个客体，我们把它叫做第三方.某县为创
4、建文明城市，省里委托第三方检测机构对该县进行检测，现从名检测人员中选派人到该县甲、乙、丙三个单位检查，要求每个单位至少派人，甲单位人，则不同的选派方法总数为（ ）ABCD【答案】B【详解】分以下两种情况讨论：乙单位人，此时，不同的选派方法数为种；乙单位人，此时，不同的选派方法数为种.综上所述，不同的选派方法数为种.故选：B.跟踪练习1计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）ABCD2五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ）A120种B96种C78种D72种3有红
5、色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种A48B72C78D844某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种A5040B1260C210D6305从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）ABCD6从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（ ）ABCD7我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的
6、值；（2）求的值；（3）当n为奇数时，证明：.8从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数（1）女生人数少于男生人数；（2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表9小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照（1）若小张和小徐必须相邻则共有多少种排队种数？（2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？107人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？参考答案1D【详解】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，
7、但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有种不同的排法然后对4幅油画的排放有种不同的排法对5幅国画的排放有种不同的排法，所以不同的陈列方式有种不同的排法.故选：D.2C【详解】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则乙不在排尾，也不在甲的位置，有3种，其余三人有种，所以共有=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，故选：C3A【详解】五个小球全排列共有：种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共
8、有：种排法颜色相同的小球不相邻的排法共有：种排法故选4D【详解】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种故选：D.5A【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，正方体表面四点共面不能构成四面体有种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，所以可得到的四面体的个数为种，故选：A6C【详解】根据题意：从10个数中任取5个不同的数，则基本事件为，则这5个不同的数的中位数为4的有：，故概率.故选：C7（1），；（2）；（3）证明见解析.【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，它们的范数依次为1，1，1，1，.（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为
9、奇数，则0的个数一定是奇数，可按照含0个数为进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为1；， 得：，.（3）当n为奇数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，可按照含0个数为进行讨论：的n个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为n；的n个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为1；，两式相加除以2得：，而，.8（1）552
10、0；（2）360【详解】（1）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，共有种情况，若女生人数多于男生人数，则有3个女生和2个男生担任课代表，共有种情况，则女生人数少于男生人数的选法有：种；（2）先从剩余的6人种选三人，共有种情况，因为某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表，所以该男生有种选择，因此共有种选法.9（1）240；（2）480；（3）96【详解】（1）若小张和小徐必须相邻则共有种；（2）先将除大魏和小刘外的四人全排，则有种情况，可产生个空，再将大魏和小刘插空，则共有种；（3）因为小张和小徐必须相邻，则这两人有种情况；若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有种情况；若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有种情况；因此共有种排队种数.101440【详解】解:先将其余四人排好有种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有种方法，这样共有 种不同排法
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