1、专题17复数复习与检测学习目标1.掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，2.会进行复数的四则运算法则，会求复数的平方根，3.会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数的模，4.会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论的结论，5.会求复数的模的最大值与最小值。6.会在复数集内解实系数一元二次方程。知识梳理重点1复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd实部与实部、虚部与虚部对应相等共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)实数的共轭复数是它本
2、身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1z2(abi)(c
3、di)(ac)(bd)i把实部、虚部分别相加减乘法z1 z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成1除法i(cdi0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.(4)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义：若复数z1，z
4、2对应的向量，不共线，则复数z1z2是所对应的复数复数减法的几何意义：复数z1z2是即所对应的复数模的运算性质：|z|2|2z；|z1z2|z1|z2|；.重点2实系数的一元二次方程：设一元二次方程为（、且）。因为，所以原方程可以变形为。配方得，即。（1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根；（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根；（3）若，即，方程没有实数根。因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根。因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。特别地，当时，实系数一元二次方程（、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根。注：虚根成对定理若虚数是实系数一元（）次方程（）的根，那么也是这
5、个方程的根。例题分析例1已知，则“”是“z为纯虚数”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】B【详解】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；z为纯虚数，故必要性成立；故答案选：B例2复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【详解】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C跟踪练习1若复数z满足(z-1)i=
6、1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（ ）A-2-iB-2+iC2-iD2+i2(2+i)-(1+2i)= （ ）ABCD3已知复数，i为虚数单位，则为（ ）ABCD4已知复数z=1+ai(aR)，且z(2+3i)为纯虚数，则a=（ ）ABCD5设复数z满足|z1|=1，则z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）A(x+1)2+y2=1B(x1)2+y2=1Cx2+(y1)2=1Dx2+(y+1)2=16已知为虚数单位，复数，则（ ）ABCD7已知复数，为纯虚数，求复数8若复数满足，试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使最大时的复数9设，（1）求证：是纯虚数；（2）求的取值范
7、围10数，若，求参考答案1D【详解】因为(z-1)i=1+i，所以，所以.故选：D.2A【详解】(2+i)-(1+2i)= (2-1)+(1-2) i =故选：A3B【详解】，.故选：B4A【详解】解：复数z=1+ai(aR)，则z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(2-3a)+(2a+3)i，由纯虚数的定义知，解得故选：A.5B【详解】解：设z=x+yi(x，yR)，由|z1|=1，得|(x1)+yi|=1. (x1)2+y2=1.故选：B.6B【分析】利用复数的运算法则化简复数，利用复数的模长公式可求得.【详解】，则.故选：B.7或【详解】设，由则， 则，且 即，解得或，即或，所以或8是以为圆心，为半径的圆最大时，【详解】设复数，则 化简可得，复数在复平面上对应的点的轨迹图形是以为圆心，为半径的圆如图，由图形可知，当时，最大.9（1）证明见解析 ；（2） .【详解】（1）由题意可得，所以，则，因此，是纯虚数；（2），所以，因为，则，解得，则，所以，因此，.10【详解】，则，当时，；当时，
