1、第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离(选学)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握向量长度计算公式(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离(重点、难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1距离的概念一个图形内的与另一图形内的的距离中的，叫做图形与图形的距离2点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，最短(2)一点到它在一个平面内的距离，叫做点到这个平面的距离任一点任一点最小值垂线段正射影课时分层作业当堂达
2、标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面，则直线上的各点到平面 所作的垂线段，即(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做相等各点到的距离相等直线与这个平面的距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的(2)两平行平面的的长度，叫做两平行平面的距离垂直公垂线段公垂线段课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？提示 课时分层作业当堂达标固双
3、基自主预习探新知合作探究攻重难返首页1思考辨析(1)可以用|AB|2ABAB，求空间两点 A、B 的距离()(2)设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条斜线，则点 B 到 的距离为 d|ABn|n|.()(3)若直线 l 与平面 平行，直线 l 上任意一点与平面 内任意一点的距离就是直线 l 与平面 的距离()基础自测课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示(1)(2)(3)直线上任意一点到平面 的垂线段的长度课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2设 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的
4、距离|CM|等于()A.534 B532 C.532 D 132C M 点坐标为2，32，3，|MC|2023212302532.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知平面 的一个法向量 n(2，2,1)，点 A(1,3,0)在 内，则P(2,1,4)到 的距离为()【导学号：33242317】A10B3 C.83 D103D AP(1，2,4)，d|APn|n|103.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难空间两点间的距离 如图 3-2-44 所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD，ABE
5、F 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a 2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页图 3-2-44(1)求 MN 的长(2)a 为何值时，MN 的长最小？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)因为 CMBNa(0a 2)，且四边形 AB
6、CD，ABEF 为正方形，所以M22 a，0，1 22 a，N22 a，22 a，0，所以MN 0，22 a，22 a1，所以|MN|a2 2a1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由(1)知 MNa 22212，所以，当 a 22 时，MN 22.即当 a 22 时，MN 的长最小，最小值为 22.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求 A，B 两点间的距离，一般用|AB|AB|2ABAB求解(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图
7、形适宜建立空间直角坐标系时课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1如图 3-2-45 所示，在 120的二面角-AB-中，AC，BD 且ACAB，BDAB，垂足分别为 A、B，已知 ACABBD6，试求线段 CD的长图 3-2-45课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 ACAB，BDAB，CAAB0，BD AB0，又二面角-AB-的平面角为 120，CA，BD 60，|CD|2|CD|2(CA ABBD)2CA 2AB 2BD 22(CA ABCA BD BD AB)362262cos 60144，CD12.课时分层作业当堂达标固双基自主
8、预习探新知合作探究攻重难返首页点到直线的距离探究问题1如何理解与认识点到直线的距离？提示 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题(1)点在直线上时，点到直线的距离为 0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离即点到直线的距离可转化为两点间的距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2如何用向量法求点到直线的距离？提示 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点，向量PA在向量 s 上的射影的大小为|PAs
9、0|，则点 A 到直线 l 的距离 d|PA|2|PAs0|2其中s0 s|s|.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点 B 到直线 A1C1 的距离【导学号：33242318】思路探究 建立坐标系，利用向量法求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线 A1C1 的方向向量为A1C1(4,3,0)，而BC1(0,3,1)，所以点 B 到直线 A1C1 的距离d|BC1
10、|2BC1 A1C1|A1C1|210952135.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(改变问法)本例条件不变，所求问题改为：若 M，N 分别是A1B1，AC 的中点，试求点 C1 到 MN 的距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如本例解法建系(图略)则 M(2,0,1)，N2，32，0，C1(0,3,1)，所以直线 MN 的方向向量为MN 0，32，1，MC1(2,3,0)，所以MC1 在MN 上的投影为MC1 MN|MN|913，所以 C1 到 MN 的距离为d|MC1|2MC1 MN|MN|2 1 144132 28
11、613.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(变换条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱 ABC-A1B1C1 且所有棱长均为 2”，如何求 B 到 A1C1 的距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 以 B 为原点，分别以 BA，过 B 垂直于 BA 的直线，BB1 为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页则 B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，3，2)，所以 A1C1 的方向向量A1C1(1，3，0)，而BC1(1，3，2)，所以点 B 到直线 A1C1 的距离
12、为d|BC1|2BC1 A1C1|A1C1|2813022 81 7.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页点到平面的距离 如图 3-2-46 所示，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，求点 A 到平面 A1BD 的距离图 3-2-46课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页
13、思路探究 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 法一：设点 A 到平面 A1BD 的距离为 h，则VB-AA1D13a12aa16a3，VA-A1BD13h 34(2a)2 36 a2h，VA-A1BDVB-AA1D，h 33 a，点 A 到平面 A1BD 的距离为 33 a.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：如图所示，建立空间直角坐标系 B1 xyz，则 A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，则BD(a，a,0)，A1D(0，a，a)，AB(a,
14、0,0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y，z)，则nBD 0，nA1D 0，即axay0，ayaz0，xy0，yz0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页令 y1，则 xz1，n(1，1,1)ABn(a,0,0)(1，1,1)a.点 A 到平面 A1BD 的距离 d|ABn|n|a|3 33 a.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用向量法求点面距的方法与步骤：(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向
15、量AB；(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量 n；(4)得答案：代入公式 d|ABn|n|求得答案.提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 3-2-47 所示，已知ABC 是以B 为直角的直角三角形，SA平面 ABC，SABC2，AB4，M，N，D 分别是 SC，AB，BC 的中点，求点A 到平面 SND 的距离图 3-2-47课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 N(0,2,0)，S(0,0,2)，
16、D(1,4,0)，NS(0，2,2)，SD(1,4，2)设平面 SND 的法向量为 n(x，y,1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页nNS0，nSD0，2y20，x4y20，x2，y1.n(2,1,1)，AS(0,0,2)点 A 到平面 SND 的距离为|nAS|n|26 63.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1在四面体 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，M 是平面 ABC 内一点，且点 M 到其他三个平面的距离分别是 2,3,6，则点 M 到顶点 P 的距离是()【导学号：33242319】A7 B8
17、C9 D10A 以 P 为坐标原点，PA，PB，PC的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意，得|MP|2232627.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知平面 的一个法向量 n(2，2,1)，点 A(x,3,0)在平面 内，则点 P(2,1,4)到平面 的距离为103，则 x()A1B11C1 或11D21C PA(x2,2，4)，而 dPAn|n|103，即|2x244|441103，解得 x1 或11.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1，AB1
18、与底面 ABCD 成 60角，则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为()A.33B1 C.2D 3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页D 如图，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页A1C1平面 ABCD，所以 A1C1到平面 ABCD 的距离等于点 A1到平面 ABCD的距离，由 AB1 与平面 ABCD 所成的角是 60，AB1.BB1 3.即点 A1 到平面 ABCD 的距离为 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4在 RtABC 中，C30，B90.D 是 BC 边的中点，AC2，DE平面 ABC，DE1，则点
19、 E 到斜边 AC 的距离是_课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页194 作 DHAC 于点 H，连接 EH(图略)因为 DE平面 ABC，所以DEAC，因为 DEDHD，所以 AC平面 DEH，所以 EHAC，所以 EH即为所求距离由B90，C30，AC2，得 BC 3.因为 D 是 BC边上的中点，所以 DH12CD14BC 34.又 DE1，所以 EH DE2DH2194.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 3-2-48 所示，BO平面，AO平面，BCOB，BC 与平面 的夹角为 30，AOBOBC1，试求 AC 的长.【导学号：33242320】图 3-2-48课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如图，作 CD平面 于 D，则DBC30，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页BCD60.BC，CD 120，即AO，BC120.|AC|2(AO OB BC)2|AO|2|OB|2|BC|22AO OB 2OB BC2AO BC32cos 1202.AC 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（二十六）点击上面图标进入 谢谢观看
