1、核心概念掌握 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示知识点二 平面向量共线的坐标表示已知点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若 P 是线段 P1P2 的中点，则点 P 的坐标为；若 P 是线段 P1P2 上距 P1 较近的三等分点，则 P点的坐标为；若 P 是线段 P1P2 上距 P2 较近的三等分点，则 P 点的坐标为.02x1x22，y1y22032x1x23，2y1y2304x12x23，y12y231线段定比分点的坐标公式(1)线段定比分点的定义如图所示，设点 P(x，y)是线段 P1P2 上不同于 P1，P2 的点，且满足|P1P|PP2|，即P1P PP2，叫做点 P 分有向
2、线段P1P2 所成的比，P 点叫做有向线段P1P2 的以 为定比的定比分点(2)定比分点的坐标表示设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(xx1，yy1)(x2x，y2y)，即xx1x2x，yy1y2y，当 1 时，xx1x21，yy1y21.则点 P 的坐标为x1x21，y1y21.特别地，当 1 时，点 P 的坐标为x1x22，y1y22，这就是线段 P1P2 的中点坐标公式；若 0，则点 P 在 P1P2 的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点 P 的坐标为x1x21，y1y21.2两个向量共线条件的表示方法已知 a(x1，y1)，b(x2，y
3、2)，(1)当 b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当 x2y20 时，x1x2y1y2，即两向量的相应坐标成比例3向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知向量 a(2,4)，b(1，2)，则 a2b.()(2)已知 A(0,2)，B(4,
4、4)，则线段 AB 的中点坐标为(2,3)()(3)已知 A(1，3)，B8，12，且 A，B，C 三点共线，则 C 点的坐标可能是(9,1)()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 时，有x1x2y1y2成立()2做一做(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知向量 a(2，3)，若 a2b，则 b()A(4，6)B(6,4)C.1，32D.32，1(3)若平面内三点 A(2,3)，B(3，2)，C12，m 共线，则 m 为()A.12B12C2 D2(4)已
5、知三点 A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB和CD 是相反向量，则 D 点的坐标为_答案(1)D(2)C(3)A(4)(1，1)答案 核心素养形成 题型一向量数乘运算的坐标表示例 1 设向量 a，b 的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求下列各向量：(1)ab；(2)ab；(3)3a；(4)2a5b.解(1)ab(1,2)(3，5)(2，3)(2)ab(1,2)(3，5)(4,7)(3)3a3(1,2)(3,6)(4)2a5b2(1,2)5(3，5)(2,4)(15，25)(13，21)答案 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，
6、则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用在ABCD 中，AD(3,7)，AB(2,3)，对称中心为 O，则CO 等于()A.12，5B.12，5C.12，5D.12，5解析 CO 12AC12(AD AB)12(1,10)12，5.解析 答案 B答案 题型二向量数乘运算的简单应用例 2 已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且 c1a2b，则 1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2答案 D解析 解析 因为 c1a2b，所以(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，所以1223，21324，解得 11，22.
7、答案 利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解已知向量AB(4,3)，AD(3，1)，点 A(1，2)(1)求线段 BD 的中点 M 的坐标；(2)若点 P(2，y)满足PBBD(R)，求 与 y 的值解(1)设 B(x1，y1)，因为AB(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4,3)，所以x114，y123，所以x13，y11，所以 B(3,1)同理，可得 D(4，3)，设 BD 的中点
8、 M(x2，y2)，则 x2342 12，y2132 1.所以 M12，1.答案 (2)由PB(3,1)(2，y)(1,1y)，BD(4，3)(3,1)(7，4)，又PBBD(R)，所以(1,1y)(7，4)(7，4)所以17，1y4，所以17，y37.答案 题型三向量共线例 3(1)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，若向量 ab 与向量 c(4，7)共线，则 _；(2)已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解析(1)因为 a(1,2)，b(2,3)，所以 ab(，2)(2,3)(2,23)因为向量 ab 与向量 c(4，7
9、)共线，所以7(2)4(23)0.所以 2.解析(2)解法一：kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当 kab 与 a3b 平行时，存在实数，使 kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以k310，2k24，解得 k13.当 k13时，kab 与 a3b 平行，解析 这时 kab13ab13(a3b)，因为 130，所以 kab 与 a3b 反向解法二：由题意知 kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为 kab 与 a3b 平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得 k13.这时 kab133，232 13(a3b)所以当
10、 k13时，kab 与 a3b 平行，并且反向解析 答案(1)2(2)见解析答案 向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由 ab(b0)推出 ab.(2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2x2y10 直接求解已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)若 a2b 与 c 共线，则 k_.解析 因为 a2b(3，3)与 c(k，3)共线，所以 3k 3 3，故k1.解析 答案 1答案 题型四点共线问题例 4(1)若点 A(1，3)，B8，12，C(x,1)共线，则 x_；(2)设向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？解析(1)A
11、B7，72，AC(x1,4)因为点 A，B，C 共线，所以AB与AC共线所以 7472(x1)0，解得 x9.(2)解法一：若 A，B，C 三点共线，则AB，AC共线，则存在实数，使得ABAC，因为ABOB OA(4k，7)，解析 ACOC OA(10k，k12)所以(4k，7)(10k，k12)即4k10k，7k12，解得 k2 或 k11.所以当 k2 或 11 时，A，B，C 三点共线解析 解法二：由题意知AB，AC共线，因为ABOB OA(4k，7)，ACOC OA(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以 k29k220，解得 k2 或 k11.所以当 k2 或
12、11 时，A，B，C 三点共线解析 答案(1)9(2)见解析答案 三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点已知点 A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)(1)求实数 x 的值，使向量AB与CD 共线；(2)当向量AB与CD 共线时，点 A，B，C，D 是否在一条直线上？解(1)AB(x,1)，CD(4，x)ABCD，x24，x2.答案(2)由已知得BC(22x，x1)，当 x2 时，BC(2
13、,1)，AB(2,1)，AB和BC不平行，此时 A，B，C，D 不在一条直线上；当 x2 时，BC(6，3)，AB(2,1)，ABBC，此时 A，B，C 三点共线又ABCD，A，B，C，D 四点在一条直线上综上，当 x2 时，A，B，C，D 四点在一条直线上.答案 题型五定比分点坐标公式例 5 线段 M1M2 的端点 M1，M2 的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M1M 2MM2，则点 M 的坐标为()A(3,8)B(1,3)C(3,1)D(3，1)解析 设 M(x，y)，利用线段定比分点的坐标公式，得 x12212 3，y52312 1.解析 答案 C答案 定比分点的两个特殊情况(1)中
14、点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点为 P(x，y)，则 xx1x22，yy1y22.(2)重心坐标公式：在ABC 中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC 的重心坐标为 Gx1x2x33，y1y2y33.已知两点 P1(3,2)，P2(8,3)，点 P12，y 满足P1P PP2，求 及 y 的值解 解法一：因为P1P 123，y2 52，y2，PP2 812，3y 172，3y，所以52，y2 172，3y),根据向量相等，得52172，y23y，解得 517，y4922.答案 解法二：因为 P1(3,2)，P2(8,3)，P12，y，所以点
15、P 分P1P2 所成的比 123812 517.由定比分点的坐标公式得 y2 51731 5174922.答案 题型六向量共线的应用例 6 在AOB 中，已知点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标解 点 O(0,0)，A(0,5)，B(4，3)，OA(0,5)，OB(4,3)OC(xC，yC)14OA 0，54.点 C 的坐标为0，54.同理可得点 D 的坐标为2，32.设点 M 的坐标为(x，y)，则AM(x，y5)，而AD 2，72.答案 A，M，D 三点共线，AM 与AD 共线72x2(y5)0，即 7x
16、4y20.而CM x，y54，CB40，354 4，74，C，M，B 三点共线，CM 与CB共线答案 74x4y54 0，即 7x16y20.由，得 x127，y2.点 M 的坐标为127，2.答案 变式探究 若将本例中的“OC 14OA”改为“OC 13OA”，其他条件不变，再试求 M 点的坐标解 点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OA(0,5)，OB(4,3)，又OC 13OA，C 点坐标为0，53，同理 D 点坐标为2，32，答案 设 M 的坐标为(x，y)，则AM(x，y5)，AD 2，72，A，M，D 三点共线，AM 与AD 共线72x2(y5)0，即 7x4y20，又C
17、M x，y53，CB4，43，C，M，B 三点共线，43x4y53 0，即 x3y50，由解得，x85，y115，点 M 的坐标为85，115.答案 由向量共线求交点坐标的方法如图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求 AC 和 OB 的交点 P 的坐标解 OP 与OB 共线，故设OP OB(4，4)，则AP(44,4)，AC(24，60)(2,6)由AP与AC共线，得(44)64(2)0.解得 34.OP(4，4)(3,3)故点 P 的坐标是(3,3)答案 随堂水平达标 1已知向量 a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则 的值等于()A.12 B.13 C1
18、D2解析 a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得 2(12)4(22)0，解得 12.解析 答案 A答案 2设点 P 是 P1(1，2)，P2(3,5)连线上一点，且P2P 12PP1，则点P 的坐标为()A(5，9)B(9,5)C(7,12)D(12，7)解析 P2P 12PP1，P2 是 P1P 的中点，P(7,12)故选 C.解析 答案 C答案 3已知 A(3，6)，B(5,2)，且 A，B，C 三点在一条直线上，则 C 点的坐标不可能是()A(9,6)B(1，2)C(7，2)D(6，9)答案 C答案 解析 设 C
19、(x，y)，则AC(x3，y6)，AB(8,8)A，B，C 三点在同一条直线上，x38 y68，即 xy30，将四个选项分别代入 xy30 验证可知，不可能的是 C.解析 4与 a(12,5)平行的单位向量为_解析 设与 a 平行的单位向量为 e(x，y)，则x2y21，12y5x0，解得x1213，y 513或x1213，y 513.解析 答案 1213，513 或1213，513答案 5平面内给出三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，求解下列问题：(1)求 3ab2c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)若(akc)(2ba)，求实数 k.解(1)3ab2c3(3,2)(1,2)2(4,1)(0,6)(2)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)，m4n3，2mn2，m59，n89.答案 (3)akc(3,2)k(4,1)(34k,2k)，2ba2(1,2)(3,2)(5,2)，又(akc)(2ba)，2(34k)5(2k)，k1613.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
