1、第8节函数与方程考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函数的零点(1)概念：对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理(1)条件：函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线；f(a)f(b)0.(2)结论：函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解.1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一
2、个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)2x的零点为0.()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.()答案(1)(2)(3)解析(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有
3、零点的充分不必要条件，故(2)错误.2.(多选)(2021威海调研)下列说法中正确的是()A.函数f(x)x1的零点为(1，0)B.函数f(x)x1的零点为1C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标答案BD解析根据函数零点的定义，可知f(x)x1的零点为1.函数yf(x)的零点，即函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.3.(2022武汉期末)函数f(x)3xx2的零点所在的一个区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，1) D.(1，0)答案A解析f(0)1，f(1)2，故f
4、(0)f(1)0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0，1).4.(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析由2sin xsin 2x0，得sin x0或cos x1.又x0，2，由sin x0，得x0，2.由cos x1，得x0，2.f(x)0有三个实根0，2，即f(x)在0，2上有三个零点.5.(易错题)函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的值为_.答案0或解析当a0时，f(x)x1，令f(x)0得x1，故f(x)只有一个零点为1.当a0，则14a0，a.6.函数f(x)x2xkx2在区
5、间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是_.答案(0，3)解析令f(x)0，x2xkx20，即k2x，即yk与(x)2x，x(1，2)的图象有交点，又(x)2x在(1，2)上单调递增，且(1)0，(2)3.0k3.考点一函数零点所在区间的判断1.(多选)(2021菏泽质检)函数f(x)exx2在下列哪个区间内必有零点()A.(2，1) B.(1，0)C.(0，1) D.(1，2)答案AD解析f(2)0，f(1)10，f(0)10，f(1)e30，因为f(2)f(1)0，f(1)f(2)0，所以f(x)在(2，1)和(1，2)内存在零点.2.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实
6、数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)答案C解析因为函数f(x)2xa在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a3.3.(2022长沙调研)设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析令f(x)0得xln x.作出函数yx和yln x的图象，如图，显然yf(x)在内无零点，在(1，e
7、)内有零点.4.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内答案A解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.感悟提升确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)1相
8、切时，恰有两个公共点，此时a0.联立得xa，即x2ax10，由a2410，得a1(舍去负根).综上，a1.(2)(2022湖北九市联盟质量检测)若函数f(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为_.答案(1，0)1，4)解析设g(x)由题意得f(x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线ya有3个交点.g(x)g(x)的极大值g(2)4，极小值g(1)1，又g(0)0，033011，故可作出此函数的图象，如图所示，a(1，0)1，4).角度2根据零点的范围求参数例3 若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是_.答案解析依题意，结合
9、函数f(x)的图象分析可知，需满足解得m0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0且a1)的两个零点是m，n，则()A.mn1 B.mn1C.0mn1，mn，画出函数y|logax|，y的图象如图所示，结合图象可知0m1，且logam，logan，以上两式两边相减可得loga(mn)0，所以0mn1，故选C.嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.一、嵌套函数零点的个数问题例1
10、(2022长沙质检)已知函数f(x) 其中e为自然对数的底数，则函数g(x)3f(x)210f(x)3的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.3答案A解析当x0时，f(x)4x36x21的导数为f(x)12x212x，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增，可得f(x)在x1处取得最小值，最小值为1，且f(0)1，作出函数f(x)的图象，g(x)3f(x)210f(x)3，可令g(x)0，tf(x)，可得3t210t30，解得t3或，当t，即f(x)时，g(x)有三个零点；当t3时，可得f(x)3有一个实根，即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点.二、由嵌套函数零点的个数求参数
11、的范围例2 函数f(x)若函数g(x)f(f(x)a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.答案1，)解析设tf(x)，令f(f(x)a0，则af(t).在同一坐标系内作ya，yf(t)的图象(如图).当a1时，ya与yf(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2t1)，则t11，t21.当t11时，令f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.2.函数f(x)ln x的零点所在的区间是()A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)答案B解析函数f(x)ln x在(1，)上单调递增，且在(1，)上连续.
12、因为f(2)ln 220，f(3)ln 310，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2，3).3.(2022南昌模拟)已知xa是函数f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A.f(x0)0B.f(x0)0C.f(x0)0D.f(x0)的符号不确定答案C解析f(x)2xlogx在(0，)上单调递增，且f(a)0，又0x0a，f(x0)f(a)0，即f(x0)0.4.(2022西安调研)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()A.g(a)0f(b) B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b) D.f(b
13、)g(a)0答案A解析易知函数f(x)单调递增，且f(0)10，由f(a)0知0a1；函数g(x)在定义域内单调递增，g(1)20，由g(b)0知2b1，所以g(a)g(1)f(1)0，故g(a)0f(b).5.已知函数f(x)若f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)，则x1x2的最小值是()A.1 B.2 C. D.答案D解析根据题意可得t0，解得x1t2(t0)，2(x21)t0，解得x2t1(t2)，则x1x2t2t1(0t2)，当t时，x1x2取得最小值.6.若函数yf(x)(xR)满足f(x4)f(x)，且x(2，2时，f(x)|x|，则函数yf(x)的图象与函数ylg|x|的图象
14、交点个数为()A.4 B.6 C.8 D.10答案C解析f(x4)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数.又x(2，2时，f(x)|x|，作出函数f(x)的图象如图所示.x10时，ylg|10|1，由数形结合可得函数yf(x)的图象与函数ylg|x|的图象交点个数为8.7.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x2)f(x)，则以下结论成立的是()A.函数f(x)的周期T2B.f(2 021)f(2 022)0C.点(1，0)是函数yf(x)图象的一个对称中心D.f(x)在2，2上有4个零点答案ABC解析定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x2)f
15、(x)，所以函数的周期为2，所以A正确；f(12)f(1)，即f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0，所以f(2 021)f(1)0，f(2 022)f(0)0，所以B正确；f(x2)f(x)f(x)，C正确；f(x)在2，2上有f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)0，有5个零点，所以D错误.8.已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)答案C解析由g(x)0得f(x)xa，作出函数f(x)和yxa的图象如图所示.当直线yxa的截距a1，即a1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2
16、个零点，故实数a的取值范围是1，).9.在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_.答案解析在同一平面直角坐标系内作出直线y2a与函数y|xa|1的大致图象，如图所示.由题意得2a1，则a.10.函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_.答案2解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1sin 2x与y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1sin 2x与y2x2的图象如图所示.由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.11.已知函数f(x)2lg xx4的零点在区间(k，
17、k1)(kZ)上，则k_.答案3解析函数f(x)2lg xx4在(0，)上为增函数，又f(3)2lg 3342lg 31lg 910，f(4)2lg 4442lg 40，即f(3)f(4)0，则函数f(x)2lg xx4的零点在区间(3，4)上，即k3.12.若x1是方程xex1的解，x2是方程xln x1的解，则x1x2_.答案1解析x1，x2分别是函数yex，函数yln x与函数y的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于yx对称，x1，因此x1x21.13.(多选)(2021衡水检测)已知函数f(x)若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是(
18、)A.x1x21 B.x3x41C.1x42 D.0x1x2x3x41答案BCD解析由函数f(x)作出其函数图象：由图可知，x1x22，2x11；当y1时，|log2x|1，有x，2，所以x31x42；由f(x3)f(x4)，有|log2x3|log2x4|，即log2x3log2x40，所以x3x41，则x1x2x3x4x1x2x1(2x1)(x11)21(0，1).故选BCD.14.(多选)(2021沈阳一模)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)m恰有两个不同解x1，x2(x1x2)，则(x2x1)f(x2)的取值可能是()A.3 B.1 C.0 D.2答案BC解析因为f(x)m的两根为
19、x1，x2(x1x2)，所以x1，x2em1，m(1，0，从而(x2x1)f(x2)mmem1m，令g(x)xex1x2x，x(1，0，则g(x)(x1)ex1x1，x(1，0.因为x(1，0，所以x10，ex1e01，x10，所以g(x)0在(1，0上恒成立，从而g(x)在(1，0上单调递增.又g(0)0，g(1)，所以g(x)，即(x2x1)f(x2)的取值范围是，故选BC.15.已知R，函数f(x)(1)当2时，不等式f(x)0的解集是_.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，)解析(1)若2，当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，解得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4).(2)令f(x)0，当x时，x4，当x时，x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，14. 16.已知函数f(x)x22x，g(x)若方程g(f(x)a0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是_.答案解析令f(x)t(t1)，则原方程化为g(t)a有4个不同的实数根，易知方程f(x)t在(，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1a，即a的取值范围是.
