1、山西省应县四中迎新年高二理科数学竞赛试题命题人：朱强基第卷（选择题 共12小题）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 下列说法中正确的是 DA.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图可能是平行四边形2若p是q的必要不充分条件，则p是q的 AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件3. 点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q的坐标为 AA.( B.（ C.（ D.（4. “用反证法证明命题“如果xy，那么 ”时，假设的内容
2、应该是 DA. B. C.且5. 两平面, 若第三个平面不经过, 则三平面把空间分成（ C ）部分。A. 8 B. 7或8 C. 6或7或8 D.4或6或7或86. 已知命题：，那么下列结论正确的是 BA.， B.，C.， D.，7. 已知,直线：，直线：，与的位置关系是 BA平行 B垂直 C重合 D相交但不垂直 BACBa8. 如图，定点A和B都在平面 内，定点 C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是BA.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点9. 椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得
3、的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为BA. B. C. D.10. 曲线|x1|+|y1|=1所围成的图形的面积为 BA.1 B.2 C.4 D.11. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 DA. B. C. D. 12. 如图已知的一边,另外两边,直线是外角的平分线,记边的中点为,过点作边的平行线与直线相交于点,则线段的长度为 A(A) .(B) (C) (D) 第卷（非选择题 共3道填空题0道解答题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13直线yxb与曲线x恰有一个交点，则实数的b的取值范围是14我们把平
4、面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（3，4），且法向量为的直线（点法式）方程为类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A（1，2，3）且法向量为的平面（点法式）方程为 。（请写出化简后的结果）15如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上) 16. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为_.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他小题12分）17（本小题满分10分）已知且，
5、求：（1）的最小值； （2）若直线与轴、轴分别交于、，求（O为坐标原点）面积的最小值【答案】（1）（2）4【解析】（1） 当时取“=”号 即当时 （2）由 当取“=”，又， 故当时有最小值4. 18（本小题12分）已知ABC的顶点C（5，1），AC边上的中线BM所在直线方程为，BC边上的高AH所在直线方程为，求：（1）顶点B的坐标；（2）直线AC的方程.【答案】解：（1）由题意得，直线BC的方程为。3分解方程组得B点坐标为（4，3）。6分（2）设A（），则M（）.于是有，即8分与联立，解得点A的坐标为（1，3）。10分于是直线方程AC的方程为. 12分19已知直线与圆相交于两点，（1）求的取值
6、范围；（2）若为坐标原点，且，求的值.【答案】（1）解： （2）设则 又，原式 解得20在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（1）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（2）求证：直线AB过定点P（0，1）。（3）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：（1）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得4分所以重心为G的轨迹方程为 （2）设点A，B的坐标为A，B，根据两点式有化简得（3）由（I）得 当且仅当即时，等号成立。所
7、以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1； 21如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BEB1C. （1）求CE的长；（2）求证：A1C平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值. 答案(1) CE=1 (2)证明略（3）A1B与平面BDE所成角的正弦值为解析（1） 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设E点坐标为
8、（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.BEB1C，=4+0-4t=0.t=1，故CE=1.（2）由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），=4+0-4=0，且=-4+4+0=0.且，即A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面BDE.即A1C平面BED.（3） 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,cos,=.A1B与平面BDE所成角的正弦值为.22已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，若，椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程，（）若是椭圆上的任意一点，求的取值范围（III）直线与椭圆相交于不同的两点(均不是长轴的顶点)，且，求证：直线恒过定点答案 （） （）的取值范围是0,12解析 （I）由题意得 4分(II)设由椭圆方程得,二次函数开口向上，对称轴x=6-2当x=-2时，取最小值0，当x= 2时, 取最大值12的取值范围是0,12 9分(III)由得 高考资源网w。w-w*k&s%5￥u设 ,则， 即 均适合 12分
