1、核心概念掌握 知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解，叫做把向量作正交分解01 把一个向量分解为两个互相垂直的向量(2)平面向量的坐标表示知识点二 平面向量加、减运算的坐标运算1在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA a，点 A 的位置被向量a 唯一确定，此时点 A 的坐标与向量 a 的坐标统一为(x，y)2平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等3符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，
2、y)特别注意：向量 a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标 A(x，y)中间没有等号4(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量 e1 和 e2 互相垂直(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即 abx1x2 且 y1y2，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐标为0.()
3、(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化()2做一做(1)已知AB(2,4)，则下列说法正确的是()AA 点的坐标是(2,4)BB 点的坐标是(2,4)C当 B 是原点时，A 点的坐标是(2,4)D当 A 是原点时，B 点的坐标是(2,4)(2)已知AB(1,3)，且点 A(2,5)，则点 B 的坐标为()A(1,8)B(1,8)C(3，2)D(3,2)(3)若 a(2,1)，b(1,0)，则 ab 的坐标是()A(1,1)B(3，1)C(3,1)D(2,0)(4)若点
4、M(3,5)，点 N(2,1)，用坐标表示向量MN _.答案(1)D(2)B(3)C(4)(1，4)答案 核心素养形成 题型一平面向量的正交分解及坐标表示例 1(1)已知向量 i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量 a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数 x，y，使得 a(x，y)；若 x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则 x1x2，且 y1y2；若 x，yR，a(x，y)，且 a0，则 a 的始点是原点 O；若 x，yR，a0，且 a 的终点坐标是(x，y)，则 a(x，y)其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4(2)如图所示，在边长为 1 的正
5、方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30角求点 B 和点 D 的坐标以及AB与AD 的坐标解析(1)由平面向量基本定理，知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以 a(x，y)与 a 的始点是不是原点无关，故错误；当 a 的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以 a 的起点是原点为前提的，故错误(2)由题知 B，D 分别是 30，120角的终边与单位圆的交点设 B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos30 32，y1sin3012，B32，12.解析 x2cos12012，y2sin120 32，D12，32.AB32，12
6、，AD 12，32.解析 答案(1)A(2)见解析答案 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(1)如图，e1，e2是一个正交基底，且 e1(1,0)，e2(0,1)，则向量 a 的坐标为()A(1,3)B(3,1)C(1，3)D(3，1)(2)已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|4 3，xOA60，求向量OA 的坐标；若 B(3，1)，求BA的坐标答案(1)A(2)见解析答案 解析(1)由图可知 ae13e2，又 e1(
7、1,0)，e2(0,1)，则 a(1,3)故选 A.(2)设点 A(x，y)，则 x4 3cos602 3，y4 3sin606，即 A(2 3，6)，故OA(2 3，6)BA(2 3，6)(3，1)(3，7).解析 题型二平面向量加、减运算的坐标表示例 2(1)已知三点 A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量AB CA _，BCAB_；(2)已知向量 a，b 的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求 ab，ab 的坐标解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，AB(1,5)，CA(4，1)，BC(5，4)ABCA(1,5)(4，1)(14,51)(5,4)BCAB(5，4)
8、(1,5)(51，45)(6，9)(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)解析 答案(1)(5,4)(6，9)(2)见解析答案 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行(1)已知 a(1,2)，b(3,4)，求向量 ab，ab 的坐标；(2)已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM CA，CN CB，求M，N 及MN 的坐标解(1)ab(1,2)(3,4)(2,6)，ab(1
9、,2)(3,4)(4，2)(2)由 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得CA(2,4)(3，4)(1,8)，CB(3，1)(3，4)(6,3)，答案 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM(x13，y14)(1,8)，x12，y14；CN(x23，y24)(6,3)，x23，y21，所以 M(2,4)，N(3，1)，MN(3，1)(2,4)(5，5).答案 题型三平面向量加、减坐标运算的应用例 3 如图所示，已知直角梯形 ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点 C 作 CEAB 于点 E，用向量的方法证明：DEBC.证明 如图，以 E 为原点，AB 所在直线为 x 轴，E
10、C 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，答案 设|AD|1，则|DC|1，|AB|2.CEAB，而 ADDC，四边形 AECD 为正方形，可求得各点坐标分别为 E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)ED(1,1)(0,0)(1,1)，BC(0,1)(1,0)(1,1)，ED BC，ED BC，即 DEBC.答案 通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决已知平行四边形 ABCD 的四个顶
11、点 A，B，C，D 的坐标依次为(3，1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)求 msinncos 的最大值解 四边形 ABCD 为平行四边形，则AD BC，即(33，n1)(m1,12)，即m10，n11，得 m1，n2，得msinncossin2cos 5sin()，其中 tan2，故 msinncos 的最大值为 5.答案 随堂水平达标 1设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 ab()A(1,6)B(5,4)C(1，6)D(6,5)解析 ab(3,5)(2,1)(32,51)(1,6)解析 答案 A答案 2已知向量OA(1，2)，OB(3,4)，则AB()A(4,6)B(2，3)C
12、(2,3)D(6,4)解析 ABOB OA(3,4)(1，2)(4,6)解析 答案 A答案 3如图，向量 a，b，c 的坐标分别是_，_，_.答案(4,0)(0,6)(2，5)答案 解析 将各向量分别向基底 i，j 所在直线分解，则 a4i0j，a(4,0)；b0i6j，b(0,6)；c2i5j，c(2，5)解析 4在平面直角坐标系中，|a|2 2，a 的方向相对于 x 轴正方向的逆时针转角为 135，则 a 的坐标为_解析 因为|a|cos1352 2 22 2，|a|sin1352 2 22 2，所以 a 的坐标为(2,2)解析 答案(2,2)答案 5在平面直角坐标系 xOy 中，向量 a，b 的位置如图所示，已知|a|4，|b|3，且AOx45，OAB105，分别求向量 a，b 的坐标解 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，由于AOx45，所以 a1|a|cos454 22 2 2，a2|a|sin454 22 2 2.由已知可以求得向量 b 的方向相对于 x 轴正方向的逆时针转角为 120，所以 b1|b|cos120312 32，b2|b|sin1203 32 3 32.故 a(2 2，2 2)，b32，3 32.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件