1、第二节 函数的定义域、值域和最值 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第二节 函数的定义域、值域和最值 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1函数yf(x)的定义域是所有输入值x(即自变量x的取值)的集合，所有输出值y(即函数值)的集合，叫做函数的值域2当函数是由解析式给出时，求函数定义域需满足以下条件：(1)分式函数_(2)偶次根式函数_(3)零次幂的底数_(4)对数函数的真数_分母不为零被开方式为非负数不为零大于零(5)整式函数定义域为_.(6)奇次根式函数定义域为_.(7)指数函数yax(a0且a1)的定义域为_.(8)由yf(x)的定义域为D，求yfg(x)的定义域，须解g(
2、x)D.由yfg(x)的定义域D，求yf(x)的定义域，只须解g(x)在D上的值域就是函数yf(x)的定义域(9)实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义RRR3函数值域的主要求法(1)利用函数的单调性若yf(x)是a，b上的单调增(减)函数，则f(a)、f(b)分别是f(x)在区间a，b上的最_值，最_值(2)利用配方法将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式，用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的值是否能使完全平方式取得_小(大)大(小)零(3)利用函数有界性(4)利用“判别式”法形如 yax2bxcpx2qxh(a、p 至少有一个不为零)的函数，求其值域，
3、可利用_(5)利用换元法(6)利用“均值定理”(7)几何法利用数形结合的思维方法，通过函数图象间的关系，利用平面几何知识求值域判别式法1函数 f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是_解析：由1x03x10，得13x1，故定义域为(13，1)答案：(13，1)课前热身 2函数yx22x的定义域为0,1,2,3，则其值域为_答案：1,0,33若函数 f(x)的定义域为0,2，则函数 g(x)f2xx1的定义域是_解析：由02x2x10，解之得 0 x1，故其定义域为0,1)答案：0,1)2 2()21xax af x4若函数的定义域为R，则a的取值范围 是_解析：据题意不等式恒成立，x22ax
4、a0恒成立，故4a24a0，即1a0.2 2210 xax a 答案：1,0考点探究挑战高考 考点突破 函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算可以施行为准则列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集(1)函 数 f(x)2x40|x|3 的 定 义 域 为_(2)设 f(x)lg2x2x，则 f(x2)f(2x)的定义域为_例1【解析】(1)由(2x4)0 知 2x40，即 x2，又由|x|30 知 x3.所以函数定义域为(，3)(3，2)(2,3)(3，)(2)由2x2x0，得 f(x)的定义域为2x2.故2x22，22x2.解得 x(4，1)(1,4)故 f(x2)
5、f(2x)的定义域为(4，1)(1,4)【答案】(1)(，3)(3，2)(2,3)(3，)(2)(4，1)(1,4)【名师点评】求函数定义域各种受限条件都要找出来，不要遗漏变式训练 1 函数 yx10 65xx2|x|x的定义域为_解析：由题意得：x10 x165xx206x1|x|x0 x06x0 且 x1.其定义域为x|6x0，且 x1答案：x|6x0，且x1函数值域和最值的求法(1)熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等(2)求函数的最值和求函数值域的常用方法是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最大(小)数，这个
6、数就是函数的最大(小)值，因此求函数的最值与值域，其实质是相同的求下列函数的值域(1)y 3x3x1；(2)y2x1x；(3)y2xx2x1；(4)y x2x2x24x3；(5)yx5x2.例2【解】(1)由已知得 3x y1y，3x0，y1y0，0y1.函数值域为(0,1)(2)设 t1x，则 x1t2(t0)，yf(x)g(t)2(1t2)t2(t14)2178(t0)g(t)在0，)上是减函数，g(t)g(0)2(t0)故该函数的值域为(，2(3)对于 xR，x2x10，由题设得：y(x2x1)2x，yx2(y2)xy0(*)当 y0 时，解得 x0.当 y0 时，方程(*)有实根，故(
7、y2)24y202y23且 y0.由知该函数的值域为2，23(4)yx1x2x1x3x2x3(x1 且 x3)，y32且 y1.故该函数的值域是(，32)(32，1)(1，)(5)令 x 5sin(22)，得 y 5sin5 5sin2 5sin 5cos 10sin(4)22，4434.于是 22 sin(4)1，则 5 10sin(4)10，即 5y 10.所求值域为 5，10【名师点评】求函数值域时一定要先考虑其定义域如利用函数的单调性，必须要有定义域；用重要不等式求值域时，若忽视定义域，则可能会导致等号成立的条件出错；用导数求函数值域时，要注意把极值与定义域区间端点的函数值作比较变式训
8、练 2 对任意 xR，函数 f(x)表示x3，32x12，x24x3 中的较大者，则 f(x)的最小值为_解析：分别画出三个函数 yx3，y32x12，yx24x3 的图象(如图)，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图象观察可得函数 f(x)的表达式：f(x)x24x3x0，x30 x1，32x121x5，x24x3x5.f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1,2)，所以函数 f(x)的最小值是 2.答案：2函数定义域和值域的综合应用 1函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题，要注意基本不等式、二次函数及函数单调性在确定函数最值中的应用2对于含参的既给出
9、定义域又给出值域的函数问题，可在定义域上用相应方法求值域，然后与已知值域对应得出相应等式例3已知函数f(x)lg(x22mx1)(mR)(1)若函数定义域为R，求m取值范围；(2)若函数值域为R，求m取值范围【解】(1)据题意，不等式 x22mx10 的解集为 R.4m240，1m1，故 m 的取值范围是(1,1)(2)设 ux22mx1，据题意，u 应取遍所有正实数，故 4m240，m1 或 m1.【名师点评】本题是已知函数定义域或值域求函数中字母参数的取值范围，这类问题是常见题型，要注意(1)(2)的区别变式训练 3 若函数 y3 ax1ax24axa3的定义域是 R，求实数 a 的取值范
10、围解：依题意，ax24axa30 的解集为 R.故 a0 或a04a24aa30，解之得 0a1，故 a 的取值范围是0,1)已知函数 f(x)x1x，x2，1，2，x1，12，x1x，x12，2.求 f(x)的值域例4【思路分析】分段函数的值域要分段求，最后求各段值域的并集。【解】当 x2，1)时，f(x)x1x在2，1)上是增函数，此时 f(x)52，2)；当 x1，12)时，f(x)2；当 x12，2时，f(x)x1x在12，2上是增函数，此时 f(x)32，32f(x)的值域为52，232，32【名师点评】求某个函数的最值或值域时，首先要仔细、认真地观察其解析式的特征，然后再选择恰当的
11、方法，一般优先考虑直接法、函数的单调性法解：若 a0，g(x)ax2 在2,2上是增函数，g(x)2a2，2a2，任意 x12,2，f(x1)52，232，32，若存在 x02,2，使得 g(x0)f(x1)成立，则52，232，322a2,2a2，互动探究4 例4条件不变，设函数g(x)ax2，x2，2，若对于任意的x12,2，总存在x02,2，使得g(x0)f(x1)成立，求实数a的取值范围2a252，2a232，a74；若 a0，g(x)ax2 在2,2上是减函数，g(x)2a2，2a2，2a252，2a232，a74.综上可得，实数 a 的取值范围是(，7474，)方法技巧1确定函数定
12、义域的原则是：(1)当函数yf(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；(2)当函数yf(x)用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；(3)当函数yf(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；(4)当函数yf(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定方法感悟 2求函数的值域是一个较复杂的问题，也是很重要的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，不管用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域(1)当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；(2)当函数yf(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴
13、上的投影所覆盖的实数y的集合；(3)当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定；(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定3函数的最值定义：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值类似地，可定义函数的最小值求函数最值和求值域是分不开的，方法类似事实上，如果在函数的值域中存在一个最(小)大数，这个数就是函数的最(小)大值，所以求值域与求最值，只是提问的角度不同，而答题的方式也就有所不同例如：函数 y24x2 的值域是(0,16，
14、最大值是16，无最小值再如：yx1x(x0)的值域是y|yR，y2 或 y2，但此函数无最大值与最小值但是一旦改变定义域则函数值域就改变了例如：yx1x，当 x0 时，最小值为 2.失误防范1求函数值域或最值时，不要忘记定义域2求函数定义域各种受限条件都要找出来，不要遗漏3已知函数定义域(或值域)求参数的取值范围，必须对参数的取值情况进行讨论函数的定义域是高考常考内容，在考查定义域时可能会结合不等式进行考查，值域的考查要求有所降低预测2012年江苏高考，函数的定义域单独成题的可能性不大考情分析 考向瞭望把脉高考(2010 年高考重庆卷)函数 y 164x的值域是_例真题透析【解析】要使函数有意
15、义，则 164x0，又因 4x0，0164x16，即函数 y 164x的值域为0,4)【答案】0,4)【名师点评】本题考查了函数的定义域、值域的求解，解本题的关键是由已知确定4x0及164x0.1函数 f(x)|x2|1log2x1 的定义域为_解析：令|x2|10 x10 x11，解得 x3.答案：3，)名师预测 2已知函数 y1xx3的最大值为 M，最小值为 m，则mM的值为_解析：由1x0 x30得函数的定义域是x|3x1，y2421xx342 1xx3，当 x1 时，y 取得最大值 M2 2；当 x3 或1 时，y 取得最小值 m2，mM 22.答案：223函数 f(x)x23x4 的定义域为0，m，值域 为254，4，则 m 的 取值范围是_解析：f(x)(x32)2254，由条件结合图象可得32m3.答案：32，34规定符号*表示一种运算：a*b abab，其中 a、b 都是正实数已知 1*k=7,则函数f(x)=k*x 的值域是_.解析：由 1*k=7 得k 1k7，解之得 k4.故 f(x)x2 x4，其中 x(0，)，f(x)4.f(x)值域为(4，)答案：(4，)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用