1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1设随机变量等可能取值1、2、3、n，如果P(4)0.3，那么n的值为(D)A3B4C9D10解析P(4)0.3，n102若随机变量X1B(n,0.2)，X2B(6，p)，X3B(n，p)，且E(x1)2，D(X2)，则D(X3)等于(A)A2.5B1.5C0.5D3.5解析由已知得解得故D(X3)100.5(10.5)2.53已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X表示取到次品的件数，则E(X)等于(A)ABCD1解析由题意知，随机变量
2、X的分布列为X012PE(X)0124(2018全国卷理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(C)ABCD解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45种情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况，所求概率为故选C5(2018天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(Xa27)成立的一个必要不充分条件是(B)Aa1或2Ba1或2C
3、a2Da解析XN(3,4)，P(Xa27)，(13a)(a27)23，a1或2.故选B6盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(C)A恰有1只是坏的B4只全是好的C恰有2只是好的D至多有2只是坏的解析Xk表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(Xk)(k1、2、3、4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，选C7已知随机变量服从正态分布N(0，2)则“P(22)0.9”是“P(2)0.04”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由随机变量服从正态分布N(0，2)可知正态密度曲线关于y轴对称，因为P(22)0
4、.9，所以P(2)0.050.04，所以“P(22)0.9”是“P(2)0.04”的充分不必要条件8某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为(A)ABCD以上都不对解析由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.从而出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C条路线，故所求的概率为9袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是(B)ABCD解析甲摸到白球后，袋中还有4个红球，2个白球
5、，故而在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率为，故选B10某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c0,1)，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(C)ABCD解析由条件知，3ab1，ab(3a)b2，等号在3ab，即a，b时成立11一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)x，f2(x)x2，f3(x)x3，f4(x)sinx，f5(x)cosx，f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进
6、行，则抽取次数的数学期望为(A)ABCD解析由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量可取1,2,3,4P(1)，P(2)，P(3)，P(4)所以的分布列为：1234PE()123412已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)则(A)Ap1p2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)E(2)解
7、析p1，p2，p1p20，故p1p2，E(1)12，E(2)1223，比较可知E(1)E(2)，故选A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X30)等于_0.3_解析根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X30)1，故P(X30)10.30.40.314一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)_解析由条件知，P(A)，P(AB)，P
8、(B|A)15甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关解析从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故正确，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，
9、又P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)，故错误综上知，正确结论的序号为16在等差数列an中，a42，a74，现从an的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为_.(用数字作答)解析由a42，a74可得等差数列an的通项公式为an102n(n1,2,3，)an的前10项分别为8,6,4,2,0，2，4，6，8，10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次
10、试验中取得正数的概率为，取得负数的概率为，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C()2()1三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)某一射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m的值(2)求此射手“射击一次命中的环数7”的概率解析(1)由分布列的性质得m1(0.020.040.060.090.290.22)0.28(2)P(射击一次命中的环数7)0.090.280.290.220.8818(本题满分12分)(2019全国卷理，18)11分制乒乓球
11、比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解析(1)解：X2就是某局双方1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5(2)解：X4且甲获胜，就是某局双方1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球
12、是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.119(本题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X
13、的分布列与数学期望E(X)解析(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)因此X的分布列为X01234PX的数学期望E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)01234220(本题满分12分)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响设
14、选手甲、选手乙答对的题数分别为X，Y(1)写出X的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E(X)，E(Y)；(2)求D(X)，D(Y)请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛解析(1)X的分布列为X123P所以E(X)1232由题意得，YB(3，)，E(Y)32(2)由(1)得E(X)E(Y)D(X)(12)2(22)2(32)2YB(3，)，D(Y)3D(X)D(Y)因此，建议该单位派甲参加竞赛21(本题满分12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X
15、表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A)(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2)综上知，X的分布列为：X012P故E(X)01222(本题满分12分)(2019全国卷理，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便
16、描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X(1)求X的分布列(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这
17、种试验方案的合理性解析(1)解：X的所有可能取值为1,0,1P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列解：由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理