1、上海市高考最后冲刺模拟卷（一）数学理2016.5.18一、填空题(本大题满分56分) 1.函数的定义域为 。2.已知，,则 。3.在的展开式中项的系数为 10 4已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是 (飞机的飞行高度忽略不计) 5.已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差 . 0486在极坐标系中，点，为曲线的对称中心，则三角形面积等于 7.高三(1)班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示) 8.在复数范围内，若方程的一个根为，则= 9
2、.将的图像按平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .10.已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称若实数满足不等式，则的取值范围是 11.函数对任意都有，则称为在区间上的可控函数，区间称为函数的“可控”区间，写出函数的一个“可控”区间是 （的子集都可以）12.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是_13.用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：若函数，则的值域为；若，则方程有三个根；若数列是等差数列，则数列也是等差数列；若，则的概率为.则所有正确命题的序号是 . 14. 设，且为常数。若存在一公差大于的等差数列，使得为一公比大于的等比数列，请写出满足条件
3、的一组的值 (答案不唯一，一组即可) . 二、选择题：(本大题满分20分)15.若直线的一个法向量，则直线的一个方向向量和倾斜角分别为( )A. B.C. D.16.在中，“”是“为钝角三角形”的()A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件17. 定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得对任意实数都成立，则称是一个“伴随函数” 有下列关于“伴随函数”的结论：是常数函数中唯一一个“伴随函数”；“伴随函数”至少有一个零点；是一个“伴随函数”；其中正确结论的个数是 ( ) AA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个18.已知数据是上
4、海普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是( )A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：19.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)ABCA1B1C1在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.(1)求的值；(2)求直线到平面的
5、距离。解：(1)，就是异面直线与所成的角，即， (2分)又连接，则为等边三角形， (4分)由，。(6分)(2)易知平面，又是上的任意一点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.(8分)设其为，连接，则由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求，的面积，的面积，(10分)又平面，所以，即到平面的距离等于。(12分)20.(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。(1)求曲线的标准方程；(2)某日，研究人员在、两岛
6、同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置(即点的坐标)？解(1)由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 又，则，故，所以曲线的方程是(2)由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，因此设此时距、两岛的距离分别比为即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。设，由 ，解得，点的坐标为或21.(本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分)设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意，有，求的取值范围解：（1）证明：因为 ，。所以。所以在内存在零点。，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。（2）当n2
7、时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4，据此分类讨论如下：当，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾。当10，即0b2时，Mf2(1)f2()(1)24恒成立 当01，即2b0时，Mf2(1)f2()(1)24恒成立 综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，Mmaxf2(1)，f2(1)f2()1c|b|(c)(1)24恒成立22.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)A4A2A1A0xyA3O
8、一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。(1) 若点为抛物线准线上一点，点，均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.(2)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.解：(1)设，由于青蛙依次向右向上跳动，所以，由抛物线定义知： 分(2) 依题意，随着的增大，点无限接近点 分横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近 分 所以 = 分(3)方法一：设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：，且其中
9、 分，即，是以为首项，为公差的等差数列，所以当为偶数时，于是，又当为奇数时， 分当为偶数时，当为奇数时，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以， 分方法二：由题意知 其中观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。 分所以，当为偶数时， 当为奇数时， 当为偶数时，当为奇数时， 分所以， 分23.(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，)已知为两非零有理数列（即对任意的,均为有理数），为一无理数列（即对任意的,为无理数）.（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式。（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为.（3）已知，对任意的，恒成立，试计算。解：（1），即，。（2）,，以上每一步可逆。（3）， ,当时， 当时，为有理数列，,为有理数列, 为无理数列,当时，当时，